Bagi suatu fungsi \(f(x)\) dan \(g(x)\),

• \(\int_{a}^{b} f(x) \ dx = 0\)
   
• \(\int_{a}^{b} f(x) \ dx = -\int_{a}^{b} f(x) \ dx\)
   
• \(\int_{a}^{b} kf(x) \ dx = k\int_{a}^{b} f(x) \ dx\), dengan keadaan \(k\) ialah pemalar
   
• \(\int_{a}^{b} f(x) \ dx + \int_{b}^{c} f(x) \ dx = \int_{a}^{c} f(x) \ dx\), dengan keadaan \(a \lt b \lt c\)
   
• \(\int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)] \ dx = \int_{a}^{b} f(x) \ dx \pm \int_{a}^{b}g(x) \ dx\)

Rumus bagi luas rantau \(A\) itu diberikan oleh:

\(A=\int^b_ay \, dx\)

• Jika rantau itu berada di bawah paksi-\(x\), maka nilai bagi hasil kamiran negatif.
• Jika rantau itu berada di atas paksi-\(x\), maka nilai bagi hasil kamiran positif.
• Luas bagi kedua-dua rantau adalah positif.

Rumus bagi luas rantau \(A\) itu diberikan oleh:

\(A=\int_a^b x \, dy\)

Bagi suatu rantau yang dibatasi oleh suatu lengkung dan paksi-\(y\),

• Jika rantau itu berada di sebelah kiri paksi-\(y\), maka hasil kamiran negatif.
• Jika rantau itu berada di sebelah kanan paksi-\(y\), maka hasil kamiran positif.
• Luas bagi kedua-dua rantau adalah positif.

Luas bagi rantau berlorek itu adalah seperti berikut:

\(\begin{aligned} \text{Luas rantau berlorek }&= \int_{a}^{b} g(x) \, dx -\int_{a}^{b} f(x) \, dx \\\\ &=\int_{a}^{b} [g(x)-f(x)] \, dx \end{aligned}\)

Bagi mencari luas rantau, pastikan fungsi lengkung atau garis yang berada di bahagian atas ditolakkan dengan fungsi lengkung atau garis yang di bawah.

• Isi padu janaan yang terbentuk apabila suatu rantau berlorek diputarkan melalui \(360^\text{o}\) pada paksi-\(x\) atau paksi-\(y\).
• Nilai bagi isi padu janaan adalah sentiasa positif.

Isipadu janaan \(I\) bagi suatu rantau di bawah suatu lengkung \(y=f(x)\) yang dibatasi oleh \(x=a\) dan \(x=b\) apabila dikisarkan melalui \(360^\circ\) pada paksi-\(x\) ialah:

\(I=\int_a^b \pi y^2 \, dx\)

Isipadu janaan \(I\) bagi suatu rantau di bawah suatu lengkung \(x=g(y)\) yang dibatasi oleh \(y=a\) dan \(y=b\) apabila dikisarkan melalui \(360^\circ\) pada paksi-\(y\) ialah:

\(I=\int_a^b \pi x^2 \, dy\)

Lengkung \(y=x^2\) dan \(y= \sqrt[3] {x}\) bersilang pada titik \((0,0) \text{ dan } (1,1)\). Cari luas bagi rantai di antara dua lengkung itu.

\(\begin{aligned} \text{Luas rantau }&= \int_{0}^{1} \sqrt[3] x \ dx - \int_{0}^{1} x^2 \ dx\\\\ &= \int_{0}^{1} (x^{\frac{1}{3}}-x^2) \ dx\\\\ &=\begin{bmatrix} \dfrac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}-\dfrac{x^3}{3} \end{bmatrix}_{0}^{1}\\\\ &=\begin{bmatrix} \dfrac{3(1)^{\frac{4}{3}}}{4}-\dfrac{1^3}{3} \end{bmatrix}_{0}^{1} - \begin{bmatrix} \dfrac{3(0)^{\frac{4}{3}}}{4}-\dfrac{0^3}{3} \end{bmatrix}_{0}^{1}\\\\ &=\dfrac{5}{12} \text{ unit}^2. \end{aligned}\)

Dalam rajah di atas, lengkung \(y=\dfrac{1}{4}x^2\) bersilang dengan garis lurus \(y=x\) pada titik \(O(0,0)\) dan \(A(4,4)\). Cari isi padu janaan, dalam sebutan \(\pi\), apabila rantau berlorek itu dikisarkan sepenuhnya pada paksi-\(x\).

Katakan \(I_{1} \) ialah isi padu janaan bagi garis lurus \(y=x\) dan \(I_{2} \) ialah isi padu janaan bagi lengkung  \(y=\dfrac{1}{4}x^2\) daripada \(x=0\) hingga \(x=4\).

\(\begin{aligned} I_1 &= \int_{0}^{4} \pi (x)^2 \ dx\\\\ &=\pi \int_{0}^{4} (x)^2 \ dx\\\\ &= \pi \begin{bmatrix} \dfrac{x^3}{3} \end{bmatrix}_{0}^{4}\\\\ &= \pi \begin{bmatrix} \dfrac{4^3}{3} - \dfrac{0^3}{3} \end{bmatrix} \\\\ &=\dfrac{64}{3}\pi \text{ unit}^3 .\end{aligned}\)

\(\begin{aligned} I_2 &= \int_{0}^{4} \pi \begin{pmatrix} \dfrac{1}{4}x^2 \end{pmatrix}^2 \ dx\\\\ &=\pi \int_{0}^{4} \dfrac{1}{16}x^4 \ dx\\\\ &= \pi \begin{bmatrix} \dfrac{x^5}{16(5)} \end{bmatrix}_{0}^{4}\\\\ &= \pi \begin{bmatrix} \dfrac{4^5}{80} - \dfrac{0^5}{80} \end{bmatrix} \\\\ &=\dfrac{64}{5}\pi \text{ unit}^3. \end{aligned}\)

Maka, isi padu janaan ialah

\(\begin{aligned} &= I_1 - I_2\\\\ &=\dfrac{64}{3} \pi -\dfrac{64}{5} \pi\\\\ &=8\dfrac{8}{15}\pi \text{ unit}^3. \end{aligned}\)

Bagi suatu fungsi \(f(x)\) dan \(g(x)\),

• \(\int_{a}^{b} f(x) \ dx = 0\)
   
• \(\int_{a}^{b} f(x) \ dx = -\int_{a}^{b} f(x) \ dx\)
   
• \(\int_{a}^{b} kf(x) \ dx = k\int_{a}^{b} f(x) \ dx\), dengan keadaan \(k\) ialah pemalar
   
• \(\int_{a}^{b} f(x) \ dx + \int_{b}^{c} f(x) \ dx = \int_{a}^{c} f(x) \ dx\), dengan keadaan \(a \lt b \lt c\)
   
• \(\int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)] \ dx = \int_{a}^{b} f(x) \ dx \pm \int_{a}^{b}g(x) \ dx\)

Rumus bagi luas rantau \(A\) itu diberikan oleh:

\(A=\int^b_ay \, dx\)

• Jika rantau itu berada di bawah paksi-\(x\), maka nilai bagi hasil kamiran negatif.
• Jika rantau itu berada di atas paksi-\(x\), maka nilai bagi hasil kamiran positif.
• Luas bagi kedua-dua rantau adalah positif.

Rumus bagi luas rantau \(A\) itu diberikan oleh:

\(A=\int_a^b x \, dy\)

Bagi suatu rantau yang dibatasi oleh suatu lengkung dan paksi-\(y\),

• Jika rantau itu berada di sebelah kiri paksi-\(y\), maka hasil kamiran negatif.
• Jika rantau itu berada di sebelah kanan paksi-\(y\), maka hasil kamiran positif.
• Luas bagi kedua-dua rantau adalah positif.

Luas bagi rantau berlorek itu adalah seperti berikut:

\(\begin{aligned} \text{Luas rantau berlorek }&= \int_{a}^{b} g(x) \, dx -\int_{a}^{b} f(x) \, dx \\\\ &=\int_{a}^{b} [g(x)-f(x)] \, dx \end{aligned}\)

Bagi mencari luas rantau, pastikan fungsi lengkung atau garis yang berada di bahagian atas ditolakkan dengan fungsi lengkung atau garis yang di bawah.

• Isi padu janaan yang terbentuk apabila suatu rantau berlorek diputarkan melalui \(360^\text{o}\) pada paksi-\(x\) atau paksi-\(y\).
• Nilai bagi isi padu janaan adalah sentiasa positif.

Isipadu janaan \(I\) bagi suatu rantau di bawah suatu lengkung \(y=f(x)\) yang dibatasi oleh \(x=a\) dan \(x=b\) apabila dikisarkan melalui \(360^\circ\) pada paksi-\(x\) ialah:

\(I=\int_a^b \pi y^2 \, dx\)

Isipadu janaan \(I\) bagi suatu rantau di bawah suatu lengkung \(x=g(y)\) yang dibatasi oleh \(y=a\) dan \(y=b\) apabila dikisarkan melalui \(360^\circ\) pada paksi-\(y\) ialah:

\(I=\int_a^b \pi x^2 \, dy\)

Lengkung \(y=x^2\) dan \(y= \sqrt[3] {x}\) bersilang pada titik \((0,0) \text{ dan } (1,1)\). Cari luas bagi rantai di antara dua lengkung itu.

\(\begin{aligned} \text{Luas rantau }&= \int_{0}^{1} \sqrt[3] x \ dx - \int_{0}^{1} x^2 \ dx\\\\ &= \int_{0}^{1} (x^{\frac{1}{3}}-x^2) \ dx\\\\ &=\begin{bmatrix} \dfrac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}-\dfrac{x^3}{3} \end{bmatrix}_{0}^{1}\\\\ &=\begin{bmatrix} \dfrac{3(1)^{\frac{4}{3}}}{4}-\dfrac{1^3}{3} \end{bmatrix}_{0}^{1} - \begin{bmatrix} \dfrac{3(0)^{\frac{4}{3}}}{4}-\dfrac{0^3}{3} \end{bmatrix}_{0}^{1}\\\\ &=\dfrac{5}{12} \text{ unit}^2. \end{aligned}\)

Dalam rajah di atas, lengkung \(y=\dfrac{1}{4}x^2\) bersilang dengan garis lurus \(y=x\) pada titik \(O(0,0)\) dan \(A(4,4)\). Cari isi padu janaan, dalam sebutan \(\pi\), apabila rantau berlorek itu dikisarkan sepenuhnya pada paksi-\(x\).

Katakan \(I_{1} \) ialah isi padu janaan bagi garis lurus \(y=x\) dan \(I_{2} \) ialah isi padu janaan bagi lengkung  \(y=\dfrac{1}{4}x^2\) daripada \(x=0\) hingga \(x=4\).

\(\begin{aligned} I_1 &= \int_{0}^{4} \pi (x)^2 \ dx\\\\ &=\pi \int_{0}^{4} (x)^2 \ dx\\\\ &= \pi \begin{bmatrix} \dfrac{x^3}{3} \end{bmatrix}_{0}^{4}\\\\ &= \pi \begin{bmatrix} \dfrac{4^3}{3} - \dfrac{0^3}{3} \end{bmatrix} \\\\ &=\dfrac{64}{3}\pi \text{ unit}^3 .\end{aligned}\)

\(\begin{aligned} I_2 &= \int_{0}^{4} \pi \begin{pmatrix} \dfrac{1}{4}x^2 \end{pmatrix}^2 \ dx\\\\ &=\pi \int_{0}^{4} \dfrac{1}{16}x^4 \ dx\\\\ &= \pi \begin{bmatrix} \dfrac{x^5}{16(5)} \end{bmatrix}_{0}^{4}\\\\ &= \pi \begin{bmatrix} \dfrac{4^5}{80} - \dfrac{0^5}{80} \end{bmatrix} \\\\ &=\dfrac{64}{5}\pi \text{ unit}^3. \end{aligned}\)

Maka, isi padu janaan ialah

\(\begin{aligned} &= I_1 - I_2\\\\ &=\dfrac{64}{3} \pi -\dfrac{64}{5} \pi\\\\ &=8\dfrac{8}{15}\pi \text{ unit}^3. \end{aligned}\)