Pemalar pengamiran, \(c\) akan ditambah sebagai sebahagian daripada kamiran tak tentu bagi suatu fungsi. Contohnya,

\(\int 5 \, dx=5x+c\).

Jika \(f(x)\) dan \(g(x)\) ialah suatu fungsi, maka

\(\int [f(x) \pm g(x)] \, dx=\int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx\).

Kaedah penggantian boleh digunakan bagi menyelesaikan suatu fungsi berbentuk \((ax+b)^n\). Maka,

\(\int (ax+b)^n \, dx=\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+c\),

dengan keadaan \(a\) dan \(b\) ialah pemalar, \(n\) ialah integer dan \(n \neq -1\).

Kamirkan setiap yang berikut terhadap \(x\):

(a) \(-0.5\),
(b) \(\int\dfrac{2}{x^2} \, dx\).

(a)

\(\int -0.5 \ dx = -0.5x +c\).

(b)

\(\begin{aligned} \int \dfrac{2}{x^2} \ dx &= 2 \int x^{-2} \ dx\\\\ &= 2 \begin{pmatrix} \dfrac{x^{-2+1}}{-2+1} \end{pmatrix} +c\\\\ &= -2x^{-1} +c\\\\ &= -\dfrac{2}{x} +c. \end{aligned}\)

Cari kamiran bagi fungsi berikut:

\(\int (x-2)(x+6) \, dx\)

\(\begin{aligned} \int (x-2)(x+6) \ dx &= \int (x^2 +4x - 12) \ dx\\\\ &= \int x^2 \ dx + \int 4x \ dx-\int12 \ dx\\\\ &= \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{4x^2}{2} - 12x +c\\\\ &= \dfrac{x^3}{3} + 2x^2- 12x +c. \end{aligned}\)

(a) Dengan menggunakan kaedah penggantian, cari kamiran tak tentu bagi:

\(\int \sqrt{5x+2} \, dx\)

(b) Kecerunan bagi suatu lengkung pada titik \((x,y)\) ialah:

\(\dfrac{dy}{dx} = 15x^2 + 4x- 3\)

Jika lengkung itu melalui titik \((-1,2)\), cari persamaan lengkung itu.

(a)

Katakan \(u=5x+2\), jadi,

\(\begin{aligned} \dfrac{du}{dx} &=5\\\\ dx&= \dfrac{du}{5} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \int \sqrt{5x+2} \ dx &= \int \dfrac{\sqrt u}{5} \ du\\\\ &= \int \dfrac{u^{\frac{1}{2}}}{5} \ du\\\\ &=\dfrac{2}{15}u^{\frac{3}{2}} +c\\\\ &= \dfrac{2}{15}(5x+2)^{\frac{3}{2}}+c. \end{aligned}\)

(b)

Diberi \(\dfrac{dy}{dx} = 15x^2 + 4x- 3\).

Jadi,

\(\begin{aligned} y&=\int (15x^2 +4x-3) \ dx\\\\ y&=5x^3 +2x^2-3x+c. \end{aligned}\)

Apabila \(x=-1\) dan \(y=2\),

\(\begin{aligned} 2&=5(-1)^3+2(-1)^2-3(-1)+c\\ c&=2 .\end{aligned}\)

Maka, persamaan lengkung itu ialah:

\(y=5x^3 +2x^2-3x+2\).

Pemalar pengamiran, \(c\) akan ditambah sebagai sebahagian daripada kamiran tak tentu bagi suatu fungsi. Contohnya,

\(\int 5 \, dx=5x+c\).

Jika \(f(x)\) dan \(g(x)\) ialah suatu fungsi, maka

\(\int [f(x) \pm g(x)] \, dx=\int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx\).

Kaedah penggantian boleh digunakan bagi menyelesaikan suatu fungsi berbentuk \((ax+b)^n\). Maka,

\(\int (ax+b)^n \, dx=\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+c\),

dengan keadaan \(a\) dan \(b\) ialah pemalar, \(n\) ialah integer dan \(n \neq -1\).

Kamirkan setiap yang berikut terhadap \(x\):

(a) \(-0.5\),
(b) \(\int\dfrac{2}{x^2} \, dx\).

(a)

\(\int -0.5 \ dx = -0.5x +c\).

(b)

\(\begin{aligned} \int \dfrac{2}{x^2} \ dx &= 2 \int x^{-2} \ dx\\\\ &= 2 \begin{pmatrix} \dfrac{x^{-2+1}}{-2+1} \end{pmatrix} +c\\\\ &= -2x^{-1} +c\\\\ &= -\dfrac{2}{x} +c. \end{aligned}\)

Cari kamiran bagi fungsi berikut:

\(\int (x-2)(x+6) \, dx\)

\(\begin{aligned} \int (x-2)(x+6) \ dx &= \int (x^2 +4x - 12) \ dx\\\\ &= \int x^2 \ dx + \int 4x \ dx-\int12 \ dx\\\\ &= \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{4x^2}{2} - 12x +c\\\\ &= \dfrac{x^3}{3} + 2x^2- 12x +c. \end{aligned}\)

(a) Dengan menggunakan kaedah penggantian, cari kamiran tak tentu bagi:

\(\int \sqrt{5x+2} \, dx\)

(b) Kecerunan bagi suatu lengkung pada titik \((x,y)\) ialah:

\(\dfrac{dy}{dx} = 15x^2 + 4x- 3\)

Jika lengkung itu melalui titik \((-1,2)\), cari persamaan lengkung itu.

(a)

Katakan \(u=5x+2\), jadi,

\(\begin{aligned} \dfrac{du}{dx} &=5\\\\ dx&= \dfrac{du}{5} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \int \sqrt{5x+2} \ dx &= \int \dfrac{\sqrt u}{5} \ du\\\\ &= \int \dfrac{u^{\frac{1}{2}}}{5} \ du\\\\ &=\dfrac{2}{15}u^{\frac{3}{2}} +c\\\\ &= \dfrac{2}{15}(5x+2)^{\frac{3}{2}}+c. \end{aligned}\)

(b)

Diberi \(\dfrac{dy}{dx} = 15x^2 + 4x- 3\).

Jadi,

\(\begin{aligned} y&=\int (15x^2 +4x-3) \ dx\\\\ y&=5x^3 +2x^2-3x+c. \end{aligned}\)

Apabila \(x=-1\) dan \(y=2\),

\(\begin{aligned} 2&=5(-1)^3+2(-1)^2-3(-1)+c\\ c&=2 .\end{aligned}\)

Maka, persamaan lengkung itu ialah:

\(y=5x^3 +2x^2-3x+2\).