|
|
| |
 |
| |
| Kecerunan Tangen kepada Satu Lengkung pada Titik-titik yang Berlainan |
- Kecerunan tangen berbeza bagi setiap titik yang berlainan pada suatu lengkung.
- Fungsi kecerunan \(f'(x)\) digunakan untuk menentukan kecerunan tangen mana-mana garis tangen kepada graf fungsi \(f(x)\) di titik tertentu.
- Contoh, bagi fungsi \(f(x)=x^2\):
| Nilai \(x\) |
Kecerunan Tangen \(f'(x)=2x\) |
| \(-2\) |
\(-4\) |
| \(-1\) |
\(-2\) |
| \(0\) |
\(0\) |
| \(1\) |
\(2\) |
| \(2\) |
\(4\) |
|
|
| |
| Persamaan Tangen dan Normal kepada Satu Lengkung pada suatu Titik |
|
|
|
|
- Berdasarkan rajah di atas, rumus bagi persamaan garis lurus \(l\) dengan kecerunan \(m\) dan melalui titik \(P(x_1, y_1)\) boleh ditulis sebagai:
\(y-y_1=m(x-x_1)\)
- Persamaan bagi tangen ialah:
\(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)
- Garis yang berseranjang dengan garis tangen disebut sebagai normal kepada lengkung \(y=f(x)\) pada titik \(P(a, f(a))\).
- Jika kecerunan tangen, \(f'(x)\) wujud dan bukan sifar, kecerunan bagi normal berdasarkan hubungan \(m_1m_2=-1\) ialah:
\(-\dfrac{1}{f'(a)}\)
- Persamaan bagi normal ialah:
\(y-f(a)=-\dfrac{1}{f'(a)}(x-a)\)
|
|
| |
| Titik Pusingan dan Sifat-sifatnya |
|
|
|
| |
| \(3\) Jenis Titik Pegun |
- Titik pusingan.
- Apabila \(x\) menokok melalui \(x=c\), nilai \(\dfrac{dy}{dx}\) berubah tanda dari positif ke negatif.
|
- Titik pusingan.
- Apabila \(x\) menokok melalui \(x=a\), nilai \(\dfrac{dy}{dx}\) berubah tanda dari negatif ke positif.
|
- Titik pegun yang bukan titik maksimum atau titik minimum.
- Titik pada saat berlakunya perubahan kecekungan suatu graf.
- Apabila \(x\) menokok melalui \(x=b\), nilai \(\dfrac{dy}{dx}\) tidak berubah.
|
|
| |
| Syarat-syarat Titik Pusingan |
|
Suatu titik pusingan pada lengkung \(y=f(x)\) ialah titik maksimum apabila \(\dfrac{dy}{dx}=0\) dan \(\dfrac{d^2y}{dx^2} \lt0\).
|
|
Suatu titik pusingan pada lengkung \(y=f(x)\) ialah titik minimum apabila \(\dfrac{dy}{dx}=0\) dan \(\dfrac{d^2y}{dx^2} \gt 0\).
|
|
| |
| Perubahan \(y\) dan \(x\) terhadap masa, \(t\) |
|
Dengan menggunakan konsep petua rantai, jika dua pemboleh ubah \(y\) dan \(x\) berubah dengan masa, \(t\) dan dihubungkan oleh persamaan \(y=f(x)\), maka kadar perubahan \(\dfrac{dy}{dt}\) dan \(\dfrac{dx}{dt}\) boleh dihubungkan oleh:
\(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\times \dfrac{dx}{dt}\)
|
|
| |
| Menentukan Perubahan Kecil dan Penghampiran suatu Kuantiti |
- Jika \(y=f(x)\) dan perubahan kecil dalam \(x\), \(\delta x\) menyebabkan perubahan kecil dalam \(y\), \(\delta y\), maka:
\(\delta y \approx \dfrac{dy}{dx} \times \delta x\)
- Seterusnya, oleh sebab \(f(x+ \delta x)=y+\delta y\) dan \(\delta y \approx \dfrac{dy}{dx} \times \delta x\), maka:
\(f(x+\delta x) \approx y + \dfrac{dy}{dx}\delta x\) atau \(f(x+\delta x) \approx f(x) +\dfrac{dy}{dx}\delta x\)
- Jika \(x\) berubah daripada \(x\) kepada \(x+\delta x\), maka:
- Peratus perubahan dalam \(x=\dfrac{\delta x}{x} \times 100\%\)
- Peratus perubahan dalam \(y=\dfrac{\delta y}{y} \times 100\%\)
|
|
| |
| Contoh \(1\) |
|
Cari persamaan tangen dan normal pada lengkung \(f(x)=x^3-2x^2+5\) pada titik \(P(2,5)\).
|
|
Diberi,
\(f(x)=x^3-2x^2+5\).
Jadi,
\(f'(x)=3x^2-4x\).
Pada titik \(P(2,5)\),
Kecerunan tangen:
\(\begin{aligned} f'(2)&=3(2)^2-4(2) \\ &=3(4)-8 \\ &=4. \end{aligned}\)
Persamaan tangen:
\(\begin{aligned} y-5&=4(x-2) \\ y-5&=4x-8 \\ y&=4x-8+5 \\ y&=4x-3. \end{aligned}\)
Kecerunan normal pada \(P(2,5)\):
\(\begin{aligned} m_Tm_N&=-1 \\ (4)m_N&=-1 \\ m_N&=-\dfrac{1}{4}. \end{aligned}\)
Persamaan normal:
\(\begin{aligned} y-5&=-\dfrac{1}{4}(x-2) \\ y-5&=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2} \\ y&=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}+5 \\ y&=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{11}{2}. \end{aligned}\)
|
|
| |
| Contoh \(2\) |
|
Diberi bahawa \(y=x^3\), cari
(a) perubahan hampir dalam \(y\) jika \(x\) menokok daripada \(4\) kepada \(4.05\),
(b) perubahan hampir dalam \(x\) jika \(y\) menyusut daripada \(8\) kepada \(7.97\).
|
|
(a)
\(y=x^3\),
\(\dfrac{dy}{dx}=3x^2\).
Apabila \(x=4\),
\(\begin{aligned} \delta x&=4.05-4 \\ &=0.05 \\\\ \dfrac{dy}{dx}&=3(4)^2 \\ &=48 \\\\ \delta y &\approx \dfrac{dy}{dx}\times \delta x \\ &=48 \times 0.05 \\ \delta y &=2.4. \end{aligned}\)
Maka, perubahan hampir dalam \(y\), \(\delta y\) ialah \(2.4\).
\(\delta y \gt 0\) bermaksud berlakunya tokokan kecil dalam \(y\) sebanyak \(2.4\).
(b)
Apabila \(y=8\),
\(\begin{aligned} x^3&=8 \\ x&=2 \\\\ \delta y&=7.97-8 \\ &=-0.03 \\\\ \dfrac{dy}{dx}&=3(2)^2 \\ &=12 \\\\ \delta y &\approx \dfrac{dy}{dx} \times \delta x \\ -0.03&=12\times\delta x \\ \delta x&=\dfrac{-0.03}{12} \\ \delta x&=-0.0025. \end{aligned}\)
Maka, perubahan hampir dalam \(x\), \(\delta x\) ialah \(-0.0025\).
\(\delta x \lt 0\) bermaksud berlakunya susutan kecil dalam \(x\) sebanyak \(0.0025\).
|
|
| |
