Pembezaan Peringkat Kedua

2.3 Pembezaan Peringkat Kedua
 
Peta minda yang menggambarkan terbitan kedua, memaparkan contoh fungsi bersama terbitan pertama dan kedua.
 
Terbitan Kedua bagi Fungsi \(y=f(x)\) terhadap \(x\)
\(\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{dy}{dx} \right)\) atau \(f''(x)=\dfrac{d}{dx}[f'(x)]\)
 
Contoh \(1\)
Soalan

Cari \(\dfrac{dy}{dx}\) dan \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) bagi fungsi \(y=x^3+\dfrac{4}{x^2}\).

Penyelesaian

\(\begin{aligned} y&=x^3+\dfrac{4}{x^2} \\ &=x^3+4x^{-2} \\\\ \dfrac{dy}{dx}&=3x^2-8x^{-3} \\ \dfrac{dy}{dx}&=3x^2-\dfrac{8}{x^3} \\\\ \dfrac{d^2y}{dx^2}&=6x+24x^{-4} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2}&=6x+\dfrac{24}{x^4}. \end{aligned}\)

 
Contoh \(2\)
Soalan

Jika \(g(x)=2x^3+3x^2-7x-9\), cari \(g''\left( \dfrac{1}{4} \right)\) dan \(g''(-1)\).

Penyelesaian

\(\begin{aligned} g(x)&=2x^3+3x^2-7x-9 \\ g'(x)&=6x^2+6x-7 \\ g''(x)&=12x+6. \end{aligned}\)


Maka,

\(\begin{aligned} g''\left( \dfrac{1}{4} \right)&=12\left( \dfrac{1}{4} \right)+6 \\ &=3+6 \\ &=9. \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} g''(-1)&=12(-1)+6 \\ &=-12+6 \\ &=-6. \end{aligned}\)

 
Contoh \(3\)
Soalan

Diberi fungsi \(f(x)=x^3+2x^2+3x+4\), cari nilai-nilai \(x\) dengan keadaan \(f'(x)=f''(x)\).

Penyelesaian

Diberi \(f(x)=x^3+2x^2+3x+4\).

Jadi,

\(f'(x)=3x^2+4x+3\),
\(f''(x)=6x+4\).


Untuk \(f'(x)=f''(x)\),

\(\begin{aligned} 3x^2+4x+3&=6x+4 \\ 3x^2-2x-1&=0 \\ (3x+1)(x-1)&=0 \end{aligned}\)

\(x=-\dfrac{1}{3}\) atau \(x=1\).

Maka, nilai-nilai \(x\) ialah \(-\dfrac{1}{3}\) dan \(1\).

 

Pembezaan Peringkat Kedua

2.3 Pembezaan Peringkat Kedua
 
Peta minda yang menggambarkan terbitan kedua, memaparkan contoh fungsi bersama terbitan pertama dan kedua.
 
Terbitan Kedua bagi Fungsi \(y=f(x)\) terhadap \(x\)
\(\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{dy}{dx} \right)\) atau \(f''(x)=\dfrac{d}{dx}[f'(x)]\)
 
Contoh \(1\)
Soalan

Cari \(\dfrac{dy}{dx}\) dan \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) bagi fungsi \(y=x^3+\dfrac{4}{x^2}\).

Penyelesaian

\(\begin{aligned} y&=x^3+\dfrac{4}{x^2} \\ &=x^3+4x^{-2} \\\\ \dfrac{dy}{dx}&=3x^2-8x^{-3} \\ \dfrac{dy}{dx}&=3x^2-\dfrac{8}{x^3} \\\\ \dfrac{d^2y}{dx^2}&=6x+24x^{-4} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2}&=6x+\dfrac{24}{x^4}. \end{aligned}\)

 
Contoh \(2\)
Soalan

Jika \(g(x)=2x^3+3x^2-7x-9\), cari \(g''\left( \dfrac{1}{4} \right)\) dan \(g''(-1)\).

Penyelesaian

\(\begin{aligned} g(x)&=2x^3+3x^2-7x-9 \\ g'(x)&=6x^2+6x-7 \\ g''(x)&=12x+6. \end{aligned}\)


Maka,

\(\begin{aligned} g''\left( \dfrac{1}{4} \right)&=12\left( \dfrac{1}{4} \right)+6 \\ &=3+6 \\ &=9. \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} g''(-1)&=12(-1)+6 \\ &=-12+6 \\ &=-6. \end{aligned}\)

 
Contoh \(3\)
Soalan

Diberi fungsi \(f(x)=x^3+2x^2+3x+4\), cari nilai-nilai \(x\) dengan keadaan \(f'(x)=f''(x)\).

Penyelesaian

Diberi \(f(x)=x^3+2x^2+3x+4\).

Jadi,

\(f'(x)=3x^2+4x+3\),
\(f''(x)=6x+4\).


Untuk \(f'(x)=f''(x)\),

\(\begin{aligned} 3x^2+4x+3&=6x+4 \\ 3x^2-2x-1&=0 \\ (3x+1)(x-1)&=0 \end{aligned}\)

\(x=-\dfrac{1}{3}\) atau \(x=1\).

Maka, nilai-nilai \(x\) ialah \(-\dfrac{1}{3}\) dan \(1\).