1. Jika \(y=3x^2\), maka \(\dfrac{dy}{dx}=6x\):
   \(\dfrac{dy}{dx}\) disebut sebagai pembezaan \(y\) terhadap \(x\).
    
2. Jika \(f(x)=3x^2\), maka \(f'(x)=6x\):
   \(f'(x)\) dikenali sebagai fungsi kecerunan bagi lengkung \(y=f(x)\) kerana fungsi ini boleh digunakan untuk mencari kecerunan lengkung pada sebarang titik.
    
3. \(\dfrac{d}{dx}(3x^2)=6x\):
   Jika bezakan \(3x^2\) terhadap \(x\), hasilnya ialah \(6x\).

• Proses untuk menentukan fungsi kecerunan \(f'(x)\) bagi suatu fungsi \(y=f(x)\) disebut sebagai pembezaan.
• Fungsi kecerunan juga dikenali sebagai terbitan pertama bagi suatu fungsi atau fungsi terbitan atau pekali pembezaan \(y\) terhadap \(x\).

• Fungsi yang menglibatkan penambahan atau penolakan sebutan-sebutan algebra boleh diperoleh dengan membezakan fungsi itu sebutan demi sebutan secara berasingan.
• Jika \(f(x)\) dan \(g(x)\) ialah suatu fungsi:

\(\dfrac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)]\ = \ \dfrac{d}{dx}[f(x)] \pm \dfrac{d}{dx}[ g(x)]\)

• Rumus petua rantai:

\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}\)

• Jika \(y=g(u)\) dan \(u=h(x)\), maka perbezaan \(y\) terhadap \(x\) diberi oleh

\(f'(x)=g'(u)\times h'(x)\)

iaitu, \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}\).

Jika \(u\) dan \(v\) ialah suatu fungsi bagi \(x\), maka

\(\dfrac{d}{dx}(uv)=u\dfrac{dv}{dx} + v\dfrac{du}{dx}\).

Jika \(u\) dan \(v\) ialah fungsi bagi \(x\) dan \(v(x) \neq 0\), maka

\(\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{u}{v} \right)=\dfrac{v\dfrac{du}{dx}-u\dfrac{dv}{dx}}{v^2}\).

Bezakan setiap yang berikut terhadap \(x\):

(a) \(y = \dfrac{1}{5}\sqrt x\),
(b) Jika \(f(x)=\dfrac{3}{4}x^4\), cari \(f'(-1)\) dan \(f'\left( \dfrac{1}{3}\right)\).

(a)

\(\begin{aligned} y &= \dfrac{1}{5}\sqrt x\\\\ &= \dfrac{1}{5}x^{\frac{1}{2}}\\\\ \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix} {\dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}} \end{pmatrix} \\\\ &=\dfrac{1}{10}x^{-\frac{1}{2}}\\\\ &= \dfrac{1}{10 \sqrt x} .\end{aligned}\)

(b)

\(\begin{aligned} f(x) &=\dfrac{3}{4}x^4\\\\ f'(x) &= \dfrac{3}{4} (4x^{4-1})\\\\ &= 3x^3\\\\ f'(-1) &= 3(-1)^3\\ &=-3\\\\ f'\left( \dfrac{1}{3} \right)&=3\left( \dfrac{1}{3} \right)^3\\\\ &=\dfrac{1}{9} .\end{aligned}\)

Bezakan persamaan berikut terhadap \(x\):

\(\dfrac{(2x+1)(x-1)}{x}\)

Katakan,

\(\begin{aligned} y &= \dfrac{(2x+1)(x-1)}{x}\\\\ &= \dfrac{2x^2-x-1}{x}\\\\ &=2x-1-x^{-1}. \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{d}{dx}(2x) -\dfrac{d}{dx}(1)-\dfrac{d}{dx}(x^{-1})\\\\ &=2x^{1-1} - 0x^{0-1} - (-1x^{-1-1})\\\\ &=2+x^{-2}\\\\ &= 2+ \dfrac{1}{x^2}. \end{aligned}\)

Bezakan fungsi berikut terhadap \(x\):

\(y=(3x^2-4x)^7\)

Katakan,

\(u=3x^2-4x\),
\(y=u^7\).

Jadi,

\(\dfrac{du}{dx}=6x-4\),
\(\dfrac{dy}{du}=7u^6\).

Dengan petua rantai,

\(\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}\\\\ &=7u^6(6x-4)\\\\ &=7(3x^2-4x)^6(6x-4)\\\\ &= (42x-28)(3x^2-4x)^6\\\\ &=14(3x-2)(3x^2-4x)^6 .\end{aligned}\)

Diberi \(y=x\sqrt{x+3}\), cari

(a) ungkapan bagi \(\dfrac{dy}{dx}\),
(b) kecerunan tangen pada \(x=6\).

(a)

Katakan,

\(u=x\),
\(v=\sqrt{x+3}\).

Dengan petua hasil darab,

\(\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= u \dfrac{dv}{dx} + v \dfrac{du}{dx}\\\\ &= x \dfrac{d}{dx} (\sqrt{x+3})+ \sqrt{x+3} \dfrac{d}{dx}x\\\\ &= x \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2 \sqrt{x+3}}\end{pmatrix} + \sqrt{x+3} \\\\ &= \dfrac{x+2(x+3)}{2\sqrt{x+3} }\\\\ &= \dfrac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3} }. \end{aligned}\)

(b)

Apabila \(x=6\),

\(\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{3(6+2)}{2\sqrt{6+3} }\\\\ &=\dfrac{24}{6}\\\\ &= 4. \end{aligned}\)

Maka, kecerunan tangen pada \(x=6\) ialah \(4\).

Diberi \(y=\dfrac{2x+1}{x^2-3}\), cari \(\dfrac{dy}{dx}\).

Katakan, 

\(u=2x+1\),
\(v=x^2-3\).

Jadi,

\(\dfrac{du}{dx}=2\),
\(\dfrac{dv}{dx}=2x\).

\(\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{v \dfrac{du}{dx} - u \dfrac{dv}{dx}}{v^2}\\\\ &= \dfrac{(x^2-3)(2)-(2x+1)(2x)}{(x^2-3)^2}\\\\ &= \dfrac{2x^2-6-(4x^2+2x)}{(x^2-3)^2}\\\\ &= \dfrac{-2x^2-2x-6}{(x^2-3)^2}\\\\ &= \dfrac{-2(x^2+x+3)}{(x^2-3)^2}. \end{aligned}\)

1. Jika \(y=3x^2\), maka \(\dfrac{dy}{dx}=6x\):
   \(\dfrac{dy}{dx}\) disebut sebagai pembezaan \(y\) terhadap \(x\).
    
2. Jika \(f(x)=3x^2\), maka \(f'(x)=6x\):
   \(f'(x)\) dikenali sebagai fungsi kecerunan bagi lengkung \(y=f(x)\) kerana fungsi ini boleh digunakan untuk mencari kecerunan lengkung pada sebarang titik.
    
3. \(\dfrac{d}{dx}(3x^2)=6x\):
   Jika bezakan \(3x^2\) terhadap \(x\), hasilnya ialah \(6x\).

• Proses untuk menentukan fungsi kecerunan \(f'(x)\) bagi suatu fungsi \(y=f(x)\) disebut sebagai pembezaan.
• Fungsi kecerunan juga dikenali sebagai terbitan pertama bagi suatu fungsi atau fungsi terbitan atau pekali pembezaan \(y\) terhadap \(x\).

• Fungsi yang menglibatkan penambahan atau penolakan sebutan-sebutan algebra boleh diperoleh dengan membezakan fungsi itu sebutan demi sebutan secara berasingan.
• Jika \(f(x)\) dan \(g(x)\) ialah suatu fungsi:

\(\dfrac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)]\ = \ \dfrac{d}{dx}[f(x)] \pm \dfrac{d}{dx}[ g(x)]\)

• Rumus petua rantai:

\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}\)

• Jika \(y=g(u)\) dan \(u=h(x)\), maka perbezaan \(y\) terhadap \(x\) diberi oleh

\(f'(x)=g'(u)\times h'(x)\)

iaitu, \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}\).

Jika \(u\) dan \(v\) ialah suatu fungsi bagi \(x\), maka

\(\dfrac{d}{dx}(uv)=u\dfrac{dv}{dx} + v\dfrac{du}{dx}\).

Jika \(u\) dan \(v\) ialah fungsi bagi \(x\) dan \(v(x) \neq 0\), maka

\(\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{u}{v} \right)=\dfrac{v\dfrac{du}{dx}-u\dfrac{dv}{dx}}{v^2}\).

Bezakan setiap yang berikut terhadap \(x\):

(a) \(y = \dfrac{1}{5}\sqrt x\),
(b) Jika \(f(x)=\dfrac{3}{4}x^4\), cari \(f'(-1)\) dan \(f'\left( \dfrac{1}{3}\right)\).

(a)

\(\begin{aligned} y &= \dfrac{1}{5}\sqrt x\\\\ &= \dfrac{1}{5}x^{\frac{1}{2}}\\\\ \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix} {\dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}} \end{pmatrix} \\\\ &=\dfrac{1}{10}x^{-\frac{1}{2}}\\\\ &= \dfrac{1}{10 \sqrt x} .\end{aligned}\)

(b)

\(\begin{aligned} f(x) &=\dfrac{3}{4}x^4\\\\ f'(x) &= \dfrac{3}{4} (4x^{4-1})\\\\ &= 3x^3\\\\ f'(-1) &= 3(-1)^3\\ &=-3\\\\ f'\left( \dfrac{1}{3} \right)&=3\left( \dfrac{1}{3} \right)^3\\\\ &=\dfrac{1}{9} .\end{aligned}\)

Bezakan persamaan berikut terhadap \(x\):

\(\dfrac{(2x+1)(x-1)}{x}\)

Katakan,

\(\begin{aligned} y &= \dfrac{(2x+1)(x-1)}{x}\\\\ &= \dfrac{2x^2-x-1}{x}\\\\ &=2x-1-x^{-1}. \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{d}{dx}(2x) -\dfrac{d}{dx}(1)-\dfrac{d}{dx}(x^{-1})\\\\ &=2x^{1-1} - 0x^{0-1} - (-1x^{-1-1})\\\\ &=2+x^{-2}\\\\ &= 2+ \dfrac{1}{x^2}. \end{aligned}\)

Bezakan fungsi berikut terhadap \(x\):

\(y=(3x^2-4x)^7\)

Katakan,

\(u=3x^2-4x\),
\(y=u^7\).

Jadi,

\(\dfrac{du}{dx}=6x-4\),
\(\dfrac{dy}{du}=7u^6\).

Dengan petua rantai,

\(\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}\\\\ &=7u^6(6x-4)\\\\ &=7(3x^2-4x)^6(6x-4)\\\\ &= (42x-28)(3x^2-4x)^6\\\\ &=14(3x-2)(3x^2-4x)^6 .\end{aligned}\)

Diberi \(y=x\sqrt{x+3}\), cari

(a) ungkapan bagi \(\dfrac{dy}{dx}\),
(b) kecerunan tangen pada \(x=6\).

(a)

Katakan,

\(u=x\),
\(v=\sqrt{x+3}\).

Dengan petua hasil darab,

\(\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= u \dfrac{dv}{dx} + v \dfrac{du}{dx}\\\\ &= x \dfrac{d}{dx} (\sqrt{x+3})+ \sqrt{x+3} \dfrac{d}{dx}x\\\\ &= x \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2 \sqrt{x+3}}\end{pmatrix} + \sqrt{x+3} \\\\ &= \dfrac{x+2(x+3)}{2\sqrt{x+3} }\\\\ &= \dfrac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3} }. \end{aligned}\)

(b)

Apabila \(x=6\),

\(\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{3(6+2)}{2\sqrt{6+3} }\\\\ &=\dfrac{24}{6}\\\\ &= 4. \end{aligned}\)

Maka, kecerunan tangen pada \(x=6\) ialah \(4\).

Diberi \(y=\dfrac{2x+1}{x^2-3}\), cari \(\dfrac{dy}{dx}\).

Katakan, 

\(u=2x+1\),
\(v=x^2-3\).

Jadi,

\(\dfrac{du}{dx}=2\),
\(\dfrac{dv}{dx}=2x\).

\(\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{v \dfrac{du}{dx} - u \dfrac{dv}{dx}}{v^2}\\\\ &= \dfrac{(x^2-3)(2)-(2x+1)(2x)}{(x^2-3)^2}\\\\ &= \dfrac{2x^2-6-(4x^2+2x)}{(x^2-3)^2}\\\\ &= \dfrac{-2x^2-2x-6}{(x^2-3)^2}\\\\ &= \dfrac{-2(x^2+x+3)}{(x^2-3)^2}. \end{aligned}\)