Tentukan nilai had \(f(x)\) dengan menggantikan nilai \(x=a\) secara langsung ke dalam fungsi \(f(x)\).

Berdasarkan rajah di atas, garis \(AT\) ialah tangen kepada lengkung \(y=x^2\) di titik \(A\):

\(\text{Kecerunan tangen }AT = \dfrac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}\).

• Berdasarkan graf di atas, kecerunan garis lurus \(BC\) boleh dikira seperti berikut:

\(\begin{aligned}&\text{Kecerunan garis lurus }BC \\&= \dfrac{CD}{BD}\\ &= \dfrac{(y- \delta y) -y}{(x+ \delta x) -x}\\ &= \dfrac{\delta y}{\delta x}. \end{aligned}\)

• Bagi lengkung \(y=f(x)\), fungsi kecerunan tangennya pada sebarang titik boleh ditentukan menggunakan rumus berikut:

\(\begin{aligned} &\text{Kecerunan lengkung di }B \\&= \text{Kecerunan tangen }BT\\ &= \text{had}_{\delta x \to 0} \dfrac{\delta y}{\delta x}. \end{aligned}\)

• \(\text{had}_{\delta x \to 0} \dfrac{\delta y}{\delta x}\) ialah terbitan pertama dan ditandakan dengan simbol \(\dfrac{dy}{dx}\).
• Fungsi kecerunan \(\dfrac{dy}{dx}\) disebut sebagai pembezaan dengan prinsip pertama.
• Ia boleh digunakan bagi mencari kecerunan tangen kepada suatu lengkung \(y=f(x)\) pada titik \((x,f(x))\),

\(\begin{aligned} \ \dfrac{dy}{dx} &= \text{had}_{\delta x \to 0} \dfrac{\delta y}{\delta x}\\\\ &= \text{had}_{\delta x \to 0} \dfrac{f(x+\delta x) - f(x)}{\delta x}. \ \end{aligned}\)

Tentukan nilai had bagi setiap fungsi berikut:

(a) \(\text{had}_{x \to 4} \dfrac{3- \sqrt{x}}{x+2}\),
(b) \(\text{had}_{x \to 1} \dfrac{x^2- 1}{x-1}\).

(a)

Guna penggantian secara langsung,

\(\begin{aligned} \text{had}_{x \to 4} \dfrac{3- \sqrt{x}}{x+2} &= \dfrac{3- \sqrt{4}}{4+2} \\\\ &= \dfrac{3-2}{4+2}\\\\ &= \dfrac{1}{6}. \end{aligned}\)

(b)

Apabila \(x=1\), \(\text{had}_{x \to 1} \dfrac{x^2- 1}{x-1}\) adalah dalam bentuk tak tentu iaitu \(\dfrac{0}{0}\).

Maka, gunakan pemfaktoran dan hapuskan faktor sepunya sebelum ganti secara langsung.

\(\begin{aligned} \text{had}_{x \to 1} \dfrac{x^2- 1}{x-1} &= \text{had}_{x \to 1} \dfrac{(x+1)(x-1)}{x-1} \\\\ &= \text{had}_{x \to 1} \ (x+1)\\\\ &= 1+1\\\ &=2. \end{aligned}\)

Cari \(\dfrac{dy}{dx}\) dengan menggunakan prinsip pertama bagi setiap fungsi \(y=f(x)\) yang berikut.

(a) \(y=3x\),
(b) \(y=3x^2\).

(a)

Diberi \(y=f(x)=3x\),

\(\begin{aligned} \delta y &= f(x+\delta x) - f(x)\\ &= 3(x+\delta x) - 3x\\ &= 3x + 3 \delta x-3x\\ &= 3 \delta x\\ \dfrac{\delta y}{\delta x}&= 3. \end{aligned}\)

Maka,

\(\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \text{had}_{\delta x \to 0} \dfrac{\delta y}{\delta x}\\\\ &= \text{had}_{\delta x \to 0} 3\\\\ &=3. \end{aligned}\)

(b)

Diberi \(y=f(x)=3x^2\),

\(\begin{aligned} \delta y &= f(x+\delta x) - f(x)\\ &= 3(x+\delta x)^2 - 3x^2\\ &= 3[x^2 + 2x(\delta x) + (\delta x)^2] - 3x^2\\ &= 3x^2 + 6x(\delta x) + 3(\delta x)^2 - 3x^2\\ &=6x(\delta x) + 3(\delta x)^2\\ \dfrac{\delta y}{\delta x}&= 6x+3\delta x .\end{aligned}\)

Maka,

\(\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \text{had}_{\delta x \to 0} \dfrac{\delta y}{\delta x}\\\\ &= \text{had}_{\delta x \to 0} (6x+3\delta x)\\\\ &=6x+3(0)\\ &= 6x. \end{aligned}\)

Tentukan nilai had \(f(x)\) dengan menggantikan nilai \(x=a\) secara langsung ke dalam fungsi \(f(x)\).

Berdasarkan rajah di atas, garis \(AT\) ialah tangen kepada lengkung \(y=x^2\) di titik \(A\):

\(\text{Kecerunan tangen }AT = \dfrac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}\).

• Berdasarkan graf di atas, kecerunan garis lurus \(BC\) boleh dikira seperti berikut:

\(\begin{aligned}&\text{Kecerunan garis lurus }BC \\&= \dfrac{CD}{BD}\\ &= \dfrac{(y- \delta y) -y}{(x+ \delta x) -x}\\ &= \dfrac{\delta y}{\delta x}. \end{aligned}\)

• Bagi lengkung \(y=f(x)\), fungsi kecerunan tangennya pada sebarang titik boleh ditentukan menggunakan rumus berikut:

\(\begin{aligned} &\text{Kecerunan lengkung di }B \\&= \text{Kecerunan tangen }BT\\ &= \text{had}_{\delta x \to 0} \dfrac{\delta y}{\delta x}. \end{aligned}\)

• \(\text{had}_{\delta x \to 0} \dfrac{\delta y}{\delta x}\) ialah terbitan pertama dan ditandakan dengan simbol \(\dfrac{dy}{dx}\).
• Fungsi kecerunan \(\dfrac{dy}{dx}\) disebut sebagai pembezaan dengan prinsip pertama.
• Ia boleh digunakan bagi mencari kecerunan tangen kepada suatu lengkung \(y=f(x)\) pada titik \((x,f(x))\),

\(\begin{aligned} \ \dfrac{dy}{dx} &= \text{had}_{\delta x \to 0} \dfrac{\delta y}{\delta x}\\\\ &= \text{had}_{\delta x \to 0} \dfrac{f(x+\delta x) - f(x)}{\delta x}. \ \end{aligned}\)

Tentukan nilai had bagi setiap fungsi berikut:

(a) \(\text{had}_{x \to 4} \dfrac{3- \sqrt{x}}{x+2}\),
(b) \(\text{had}_{x \to 1} \dfrac{x^2- 1}{x-1}\).

(a)

Guna penggantian secara langsung,

\(\begin{aligned} \text{had}_{x \to 4} \dfrac{3- \sqrt{x}}{x+2} &= \dfrac{3- \sqrt{4}}{4+2} \\\\ &= \dfrac{3-2}{4+2}\\\\ &= \dfrac{1}{6}. \end{aligned}\)

(b)

Apabila \(x=1\), \(\text{had}_{x \to 1} \dfrac{x^2- 1}{x-1}\) adalah dalam bentuk tak tentu iaitu \(\dfrac{0}{0}\).

Maka, gunakan pemfaktoran dan hapuskan faktor sepunya sebelum ganti secara langsung.

\(\begin{aligned} \text{had}_{x \to 1} \dfrac{x^2- 1}{x-1} &= \text{had}_{x \to 1} \dfrac{(x+1)(x-1)}{x-1} \\\\ &= \text{had}_{x \to 1} \ (x+1)\\\\ &= 1+1\\\ &=2. \end{aligned}\)

Cari \(\dfrac{dy}{dx}\) dengan menggunakan prinsip pertama bagi setiap fungsi \(y=f(x)\) yang berikut.

(a) \(y=3x\),
(b) \(y=3x^2\).

(a)

Diberi \(y=f(x)=3x\),

\(\begin{aligned} \delta y &= f(x+\delta x) - f(x)\\ &= 3(x+\delta x) - 3x\\ &= 3x + 3 \delta x-3x\\ &= 3 \delta x\\ \dfrac{\delta y}{\delta x}&= 3. \end{aligned}\)

Maka,

\(\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \text{had}_{\delta x \to 0} \dfrac{\delta y}{\delta x}\\\\ &= \text{had}_{\delta x \to 0} 3\\\\ &=3. \end{aligned}\)

(b)

Diberi \(y=f(x)=3x^2\),

\(\begin{aligned} \delta y &= f(x+\delta x) - f(x)\\ &= 3(x+\delta x)^2 - 3x^2\\ &= 3[x^2 + 2x(\delta x) + (\delta x)^2] - 3x^2\\ &= 3x^2 + 6x(\delta x) + 3(\delta x)^2 - 3x^2\\ &=6x(\delta x) + 3(\delta x)^2\\ \dfrac{\delta y}{\delta x}&= 6x+3\delta x .\end{aligned}\)

Maka,

\(\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \text{had}_{\delta x \to 0} \dfrac{\delta y}{\delta x}\\\\ &= \text{had}_{\delta x \to 0} (6x+3\delta x)\\\\ &=6x+3(0)\\ &= 6x. \end{aligned}\)