Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut

Kembali

Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut

6.2

Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut

Imej menggambarkan konsep nisbah trigonometri. Ia mempunyai segi tiga tepat yang dilabelkan dengan sisi: Hypotenuse, Sisi bertentangan dan Sisi bersebelahan. Segitiga digunakan untuk menerangkan fungsi sinus, kosinus, dan tangen. Di bawah segi tiga, terdapat tiga kotak: 1. Kotak pertama mentakrifkan sinus (sin θ) sebagai nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus (BC/AB). 2. Kotak kedua mentakrifkan kosinus (cos θ) sebagai nisbah sisi bersebelahan dengan hipotenus (AC/AB). 3. Kotak ketiga mentakrifkan tangen (tan θ) sebagai nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan (BC/AC).

Rumus Kosekan, Sekan dan Kotangen

Kosekan

\(\text{kosek }\theta=\dfrac{1}{\sin{\theta}}\)

Sekan

\(\text{sek }\theta=\dfrac{1}{\text{kos }\theta}\)

Kotangen

\(\text{kot }\theta=\dfrac{1}{\tan{\theta}}\)

Sudut Pelengkap

Sudut \(A\) dan sudut \(B\) dikatakan sudut pelengkap antara satu sama lain jika \(A+B=90^\circ\). Oleh itu,

\(A=90^\circ-B\) dan \(B=90^\circ-A\)

Rumus Sudut Pelengkap

\(\text{sin }\theta= \text{kos } (90^{\circ}-\theta)\)
\(\text{kos }\theta= \text{sin } (90^{\circ}-\theta)\)
\(\text{tan }\theta= \text{kot } (90^{\circ}-\theta)\)
\(\text{sek }\theta= \text{kosek } (90^{\circ}-\theta)\)
\(\text{kosek }\theta= \text{sek } (90^{\circ}-\theta)\)
\(\text{kot }\theta= \text{tan } (90^{\circ}-\theta)\)

\(4\) Kaedah Menentukan Nilai Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut

Kaedah \(1\): Menggunakan Kalkulator

Nilai sinus, kosinus dan tangen boleh ditentukan menggunakan kalkulator.
Nilai bagi kosekan, sekan dan kotangen perlu dihitung menggunakan salingan kepada nilai nisbah trigonometri sinus, kosinus dan tangen sudut tersebut.

Kaedah \(2\): Menggunakan Bulatan Unit

Gambaran visual bulatan unit yang memaparkan empat nombor pelbagai yang diletakkan di sepanjang tepinya, menekankan prinsip matematik.

Kaedah \(3\): Menggunakan Nilai Nisbah Trigonometri Sudut Rujukan yang Sepadan

Rajah menunjukkan sudut rujukan, \(\alpha\) bagi sudut \( 0° \leqslant \theta \leqslant 360^{\circ}\) atau \( 0° \leqslant \theta \leqslant 2\pi\).

Empat graf berbeza yang menggambarkan nisbah trigonometri yang sama merentas keempat-empat kuadran untuk perbandingan visual yang jelas.

Kaedah \(4\): Menggunakan Segi Tiga Bersudut Tegak

Nisbah trigonometri bagi sudut-sudut khas \(30^\circ\), \(45^\circ\) dan \(60^\circ\) boleh ditentukan menggunakan segi tiga bersudut tegak.

Sudut / Nisbah		sin	kos	tan	kosek	sek	kot
\(30^\circ\)	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)	\(2\)	\(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)	\(\sqrt{3}\)
\(45^\circ\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)	\(1\)	\(\sqrt{2}\)	\(\sqrt{2}\)	\(1\)
\(60^\circ\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\sqrt{3}\)	\(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)	\(2\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Contoh \(1\)

Soalan

(a)	Diberi bahawa \(\text{sin } 77^{\circ} = 0.9744\) dan \(\text{kos } 77^{\circ} = 0.225\).
	Cari nilai bagi \(\text{kos }13^{\circ}\).

(b)	Diberi \(\text{kos }63^{\circ} = k\), dengan keadaan \(k \gt0\).
	Cari nilai bagi \(\text{kosek }27^{\circ}\) dalam sebutan \(k\).

Penyelesaian

(a)

\(\begin{aligned} \text{kos }\theta&= \text{sin } (90^{\circ}-\theta)\\ \text{kos }13^{\circ}&= \text{sin } (90^{\circ}-13^{\circ})\\ &= \text{sin }77^{\circ}\\ &= 0.9744. \end{aligned}\)

(b)

\(\begin{aligned} \text{kosek }\theta&= \text{sek } (90^{\circ}-\theta)\\ \text{kosek }27^{\circ}&= \text{sek } (90^{\circ}-27^{\circ})\\ &= \text{sek }63^{\circ}\\ &= \dfrac{1}{\text{kos }63^{\circ}}\\ &= \dfrac{1}{k}. \end{aligned}\)

Contoh \(2\)

Soalan

Dengan menggunakan bulatan unit, nyatakan nilai bagi \(\text{kos }135^{\circ}\).

Penyelesaian

Koordinat yang sepadan dengan \(135^{\circ}\) ialah

\(\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\sqrt2}, \ \dfrac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}\) dan \(\text{kos }135^{\circ} = \text{koordinat-}x\).

Maka, \(\text{kos }135^{\circ} = -\dfrac{1}{\sqrt2}\).