Menyelesaikan masalah yang melibatkan pilih atur dengan syarat tertentu

Pilih Atur dan Gabungan

4.1

Pilih Atur

Petua Pendaraban


	Jika suatu peristiwa boleh berlaku dalam \(m\) cara dan suatu peristiwa kedua boleh berlaku dalam \(n\) cara, maka kedua-dua peristiwa boleh berlaku dalam \(m \times n\) cara

Sebagai contoh:


	\(3 \text{ jenis roti } \times 2 \text{ jenis kuah } = 6 \text{ cara memilih set}\)

Ia juga boleh diperluaskan kepada lebih dari dua peristiwa

Contoh

(a)	Tentukan bilangan cara melambungkan sebiji dadu dan sekeping duit syiling secara serentak.

(b)	Cari bilangan cara seseorang boleh meneka kod 4 digit bagi mengakses telefon bimbit jika pengulangan digit dibenarkan.


Penyelesaian:

(a)	Sebiji dadu mempunyai \(6\) permukaan dan duit syiling mempunyai \(2\) permukaan. Maka, \(6 × 2 = 12\) bilangan cara melambungkan kedua-dua objek serentak.

(b)	Bilangan cara seseorang boleh meneka kod \(4\) digit bagi mengakses telefon bimbit ialah \(10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10 \ 000\) kerana terdapat \(10\) pilihan digit nombor.

Pilih Atur


	Bilangan cara menyusun huruf-huruf.

Menentukan bilangan pilih atur bagi \(n\) objek yang berbeza:


	\(n! = \ _{n}P_{r} = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ ... \ \times 3 \times 2 \times 1\)

Bilangan pilih atur bagi \(n\) objek dalam bentuk bulatan:


	\(P = \dfrac{n!}{n} = \dfrac{n(n-1)!}{n} = (n-1)!\)

Contoh

(a)	Cari nilai bagi \(\dfrac{11!}{9!}\) tanpa menggunakan kalkulator.

(b)	Cari bilangan cara menyusun huruf perkataan BIJAK tanpa ulangan huruf.

(c)	Tentukan bilangan cara menyusun enam murid di sebuah meja bulat.


Penyelesaian:

(a)	\(\begin{aligned} \dfrac{11!}{9!} &= \dfrac{11 \times 10 \times 9!}{9!}\\\\ &=11\times 10\\\\ &=110 \end{aligned}\)

(b)	Diberi bilangan huruf, \(n=5\). Maka, bilangan cara menyusun semua huruf ialah \(5! = 120\).

(c)	Diberi bilangan murid, \(n=6\). Maka, bilangan cara menyusun enam orang murid dalam bulatan ialah \((6 – 1)! = 120\).

Menentukan bilangan pilih atur bagi \(n\) objek yang berbeza diambil \(r\) objek pada suatu masa:


	\( _{n}P_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\), dengan keadaan \(r \leqslant n\)

Bilangan pilih atur bagi objek \(n\) objek yang berbeza diambil \(r\) objek pada satu masa yang disusun dalam bentuk bulatan:


	\(\dfrac{_{n}P_{r}}{r}\)

Tip


	Pilih atur dalam bentuk bulatan yang tidak mengambil kira sama ada mengikut arah jam atau lawan arah jam, maka formula ialah
	\(\dfrac{_{n}P_{r}}{2r}\)

Contoh

(a)	Lapan orang ahli jawatankuasa sebuah persatuan dicalonkan untuk memegang jawatan sebagai Presiden, Naib Presiden dan Setiausaha. Cari bilangan cara pemilihan jawatan itu dapat dibentuk.

(b)	Nadia membeli \(12\) butir manik pelbagai warna di Pasar Kraf Tangan Kota Kinabalu dan bercadang untuk membuat seutas gelang. Nadia mendapati bahawa gelang itu hanya memerlukan \(8\) butir manik sahaja. Berapakah bilangan pilih atur untuk menghasilkan gelang tersebut?


Penyelesaian:

(a)	Tiga daripada lapan orang ahli jawatankuasa yang tercalon perlu dipilih untuk memegang tiga jawatan. Maka, \(_{8}P_{3} = \dfrac{8!}{(8-3)!} = 336 \)

(b)	Diberi jumlah manik ialah \(12\) butir dan \(8\) butir manik perlu disusun membentuk gelang. Didapati bahawa susunan mengikut arah jam atau lawan arah jam tidak memberi perbezaan. Maka, bilangan pilih atur ialah \(\dfrac{_{12}P_{8}}{2(8)} = 1 \ 247 \ 400\)

Menentukan bilangan pilih atur bagi \(n\) objek yang melibatkan objek secaman:


	\(P = \dfrac{n!}{a!b!c! \ ...}\), dengan

	\(a, b \text{ dan } c, \ ... \) ialah bilangan objek bagi setiap objek secaman

Contoh

	Hitung bilangan cara menyusun huruf-huruf daripada perkataan SIMBIOSIS

	Penyelesaian:

	Diberi \(n=9\). Bilangan objek secaman huruf S dan I adalah sama, iaitu \(3\). Maka, bilangan cara menyusun huruf-huruf daripada perkataan SIMBIOSIS ialah \(\dfrac{9!}{3!3!}= 10\ 080\)

4.2

Gabungan


	Apabila pemilihan suatu objek daripada suatu set dibuat tanpa mengambil kira susunan

Membanding beza pilih atur dan gabungan:

Pilih Atur

Gabungan


	Proses pemilihan objek yang mempertimbangkan susunan dan urutannya


	Proses pemilihan objek tanpa mempertimbangkan susunan dan urutannya

Menentukan bilangan gabungan \(r\) objek dipilih daripada \(n\) objek yang berbeza pada satu masa:


	\(_{n}C_{r} = \dfrac{_{n}P_{r}}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)

Tip

Gabungan boleh ditulis sebagai \(_{n}C_{r} \text{ atau }\dbinom{n}{r}\) dan

\(_{n}C_{r} \) juga dikenali sebagai pekali binomial.

Contoh

(a)	Cari bilangan cara segi tiga yang dapat dibentuk daripada bucu-bucu sebuah heksagon.

(b)	Encik Samad perlu memilih tiga jenis motif batik daripada empat motif organik dan lima motif geometri. Cari bilangan cara memilih sekurang-kurangnya satu motif organik dan satu motif geometri.


Penyelesaian:

(a)	Heksagon mempunyai enam bucu. Bagi membentuk sebuah segi tiga, tiga bucu diperlukan. Maka, bilangan cara \(\begin{aligned} _{n}C_{r} &= \dfrac{6!}{3!(6-3)!} \\\\ &=\dfrac{6!}{3!3!}\\\\ &=20 \end{aligned}\)

(b)	Cara memilih dua motif organik dan satu motif geometri, \(_{4}C_{2} \times \ _{5}C_{1}\) Cara memilih satu motif organik dan dua motif geometri, \(_{4}C_{1} \times \ _{5}C_{2}\) Maka, bilangan cara \((_{4}C_{2} \times \ _{5}C_{1}) + (_{4}C_{1} \times \ _{5}C_{2}) = 70 \)

Pilih Atur dan Gabungan

4.1

Pilih Atur

Petua Pendaraban


	Jika suatu peristiwa boleh berlaku dalam \(m\) cara dan suatu peristiwa kedua boleh berlaku dalam \(n\) cara, maka kedua-dua peristiwa boleh berlaku dalam \(m \times n\) cara

Sebagai contoh:


	\(3 \text{ jenis roti } \times 2 \text{ jenis kuah } = 6 \text{ cara memilih set}\)

Ia juga boleh diperluaskan kepada lebih dari dua peristiwa

Contoh

(a)	Tentukan bilangan cara melambungkan sebiji dadu dan sekeping duit syiling secara serentak.

(b)	Cari bilangan cara seseorang boleh meneka kod 4 digit bagi mengakses telefon bimbit jika pengulangan digit dibenarkan.


Penyelesaian:

(a)	Sebiji dadu mempunyai \(6\) permukaan dan duit syiling mempunyai \(2\) permukaan. Maka, \(6 × 2 = 12\) bilangan cara melambungkan kedua-dua objek serentak.

(b)	Bilangan cara seseorang boleh meneka kod \(4\) digit bagi mengakses telefon bimbit ialah \(10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10 \ 000\) kerana terdapat \(10\) pilihan digit nombor.

Pilih Atur


	Bilangan cara menyusun huruf-huruf.

Menentukan bilangan pilih atur bagi \(n\) objek yang berbeza:


	\(n! = \ _{n}P_{r} = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ ... \ \times 3 \times 2 \times 1\)

Bilangan pilih atur bagi \(n\) objek dalam bentuk bulatan:


	\(P = \dfrac{n!}{n} = \dfrac{n(n-1)!}{n} = (n-1)!\)

Contoh

(a)	Cari nilai bagi \(\dfrac{11!}{9!}\) tanpa menggunakan kalkulator.

(b)	Cari bilangan cara menyusun huruf perkataan BIJAK tanpa ulangan huruf.

(c)	Tentukan bilangan cara menyusun enam murid di sebuah meja bulat.


Penyelesaian:

(a)	\(\begin{aligned} \dfrac{11!}{9!} &= \dfrac{11 \times 10 \times 9!}{9!}\\\\ &=11\times 10\\\\ &=110 \end{aligned}\)

(b)	Diberi bilangan huruf, \(n=5\). Maka, bilangan cara menyusun semua huruf ialah \(5! = 120\).

(c)	Diberi bilangan murid, \(n=6\). Maka, bilangan cara menyusun enam orang murid dalam bulatan ialah \((6 – 1)! = 120\).

Menentukan bilangan pilih atur bagi \(n\) objek yang berbeza diambil \(r\) objek pada suatu masa:


	\( _{n}P_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\), dengan keadaan \(r \leqslant n\)

Bilangan pilih atur bagi objek \(n\) objek yang berbeza diambil \(r\) objek pada satu masa yang disusun dalam bentuk bulatan:


	\(\dfrac{_{n}P_{r}}{r}\)

Tip


	Pilih atur dalam bentuk bulatan yang tidak mengambil kira sama ada mengikut arah jam atau lawan arah jam, maka formula ialah
	\(\dfrac{_{n}P_{r}}{2r}\)

Contoh

(a)	Lapan orang ahli jawatankuasa sebuah persatuan dicalonkan untuk memegang jawatan sebagai Presiden, Naib Presiden dan Setiausaha. Cari bilangan cara pemilihan jawatan itu dapat dibentuk.

(b)	Nadia membeli \(12\) butir manik pelbagai warna di Pasar Kraf Tangan Kota Kinabalu dan bercadang untuk membuat seutas gelang. Nadia mendapati bahawa gelang itu hanya memerlukan \(8\) butir manik sahaja. Berapakah bilangan pilih atur untuk menghasilkan gelang tersebut?


Penyelesaian:

(a)	Tiga daripada lapan orang ahli jawatankuasa yang tercalon perlu dipilih untuk memegang tiga jawatan. Maka, \(_{8}P_{3} = \dfrac{8!}{(8-3)!} = 336 \)

(b)	Diberi jumlah manik ialah \(12\) butir dan \(8\) butir manik perlu disusun membentuk gelang. Didapati bahawa susunan mengikut arah jam atau lawan arah jam tidak memberi perbezaan. Maka, bilangan pilih atur ialah \(\dfrac{_{12}P_{8}}{2(8)} = 1 \ 247 \ 400\)

Menentukan bilangan pilih atur bagi \(n\) objek yang melibatkan objek secaman:


	\(P = \dfrac{n!}{a!b!c! \ ...}\), dengan

	\(a, b \text{ dan } c, \ ... \) ialah bilangan objek bagi setiap objek secaman

Contoh

	Hitung bilangan cara menyusun huruf-huruf daripada perkataan SIMBIOSIS

	Penyelesaian:

	Diberi \(n=9\). Bilangan objek secaman huruf S dan I adalah sama, iaitu \(3\). Maka, bilangan cara menyusun huruf-huruf daripada perkataan SIMBIOSIS ialah \(\dfrac{9!}{3!3!}= 10\ 080\)

4.2

Gabungan


	Apabila pemilihan suatu objek daripada suatu set dibuat tanpa mengambil kira susunan

Membanding beza pilih atur dan gabungan:

Pilih Atur

Gabungan


	Proses pemilihan objek yang mempertimbangkan susunan dan urutannya


	Proses pemilihan objek tanpa mempertimbangkan susunan dan urutannya

Menentukan bilangan gabungan \(r\) objek dipilih daripada \(n\) objek yang berbeza pada satu masa:


	\(_{n}C_{r} = \dfrac{_{n}P_{r}}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)

Tip

Gabungan boleh ditulis sebagai \(_{n}C_{r} \text{ atau }\dbinom{n}{r}\) dan

\(_{n}C_{r} \) juga dikenali sebagai pekali binomial.

Contoh

(a)	Cari bilangan cara segi tiga yang dapat dibentuk daripada bucu-bucu sebuah heksagon.

(b)	Encik Samad perlu memilih tiga jenis motif batik daripada empat motif organik dan lima motif geometri. Cari bilangan cara memilih sekurang-kurangnya satu motif organik dan satu motif geometri.


Penyelesaian:

(a)	Heksagon mempunyai enam bucu. Bagi membentuk sebuah segi tiga, tiga bucu diperlukan. Maka, bilangan cara \(\begin{aligned} _{n}C_{r} &= \dfrac{6!}{3!(6-3)!} \\\\ &=\dfrac{6!}{3!3!}\\\\ &=20 \end{aligned}\)

(b)	Cara memilih dua motif organik dan satu motif geometri, \(_{4}C_{2} \times \ _{5}C_{1}\) Cara memilih satu motif organik dan dua motif geometri, \(_{4}C_{1} \times \ _{5}C_{2}\) Maka, bilangan cara \((_{4}C_{2} \times \ _{5}C_{1}) + (_{4}C_{1} \times \ _{5}C_{2}) = 70 \)

Pilih Atur dan Gabungan

Pilih Atur dan Gabungan

Bab : Pilih Atur Dan Gabungan

Topik : Menyelesaikan masalah yang melibatkan pilih atur dengan syarat tertentu

Nota yang berkaitan