| Contoh 2 |
| Rajah di bawah menunjukkan keratan rentas sebatang sungai. Seorang ahli hidrologi mengukur kedalaman sungai, \(y \text{ m}\), pada jarak yang berbeza,, \(x \text{ m}\) dari tebing sungai. Keputusannya yang diperoleh diberi dalam jadual berikut. |
| |
 |
| |
| Jarak dari tebing sungai, \(x \text{ m}\) |
Kedalaman sungai \(y \text{ m}\) |
| 0 |
0 |
| 4 |
1.5 |
| 8 |
2.3 |
| 12 |
2.9 |
| 18 |
2.9 |
| 25 |
1.7 |
| 30 |
0 |
|
| |
| Dengan menggunakan pemodelan matematik, tunjukkan cara ahli hidrologi itu menggunakan data di atas untuk menentukan kedalaman sungai itu. |
| |
| Penyelesaian: |
| |
| Mengenal pasti dan mendefinisikan masalah |
| Bagaimana menentukan kedalaman sebatang sungai? |
| |
| Membuat andaian dan mengenal pasti pemboleh ubah |
- Andaikan sungai adalah paling dalam di bahagian tengah dan kedalamannya berkurangan sehingga 0 di bahagian tepi sungai.
- Dua pemboleh ubah yang terlibat dalam kajian ini ialah kedalaman sungai, \(y \text{ m}\), dan jarak dari tebing sungai, \(x \text{ m}\).
|
| |
| Mengaplikasi matematik untukmenyelesaikan masalah |
- Tulis jarak dari tebing sungai dan kedalaman sungai sebagai set pasangan tertib \((x, y)\) dan lukis satu graf bagi data tersebut.
- Data kelihatan menaik dan kemudian menurun dan ini menyerupai suatu fungsi kuadratik.
- Graf yang dilukis menunjukkan lengkung penyuaian terbaik dan menyerupai graf fungsi kuadratik.
- Dalam pemodelan matematik untuk mewakili situasi sebenar, nilai anggaran digunakan.
- Berdasarkan graf, didapati kedalaman sungai ialah 3 m. Hal ini berlaku ketika jarak dari tebing sungai ialah 15 m (anggaran).
|
 |
| |
| Menentusahkan dan mentafsir penyelesaian dalam konteks masalah berkenaan |
|
Tentukan fungsi kuadratik berkenaan yang mempunyai bentuk \(y = ax^2 + bx + c\).
Tentukan pemalar \(a, b \text{ dan } c\) by dengan menggantikan sebarang tiga data, misalnya \((0, 0), (25, 1.7) \text{ dan } (30, 0)\) ke dalam persamaan.
|
| \(\begin{aligned} &0 = a(0)2 + b(0) + c \\& \implies c=0\\\\ &1.7 = a(25)2 + b(25) + c\\ &\implies 1.7 = 625a + 25b + c\\\\ &0 = a(30)2 + b(30) + c \\ &\implies 0 = 900a + 30b + c \end{aligned}\) |
|
Oleh sebab \(c=0\), sistem bagi dua persamaan linear dalam dua pemboleh ubah ialah:
\(\begin{aligned} 1.7 = 625a + 25b \dots (1)\\ \hspace{3.5mm}0 = 900a + 30b \dots(2) \end{aligned}\)
Daripada \((2)\),
\(b=-30a\dots(3)\)
Gantikan \((3)\) ke dalam \((1)\),
kita memperoleh \(a=-0.0136\).
Gantikan \(a=-0.0136\) ke dalam \((3)\),
kita memperoleh \( b=0.408\).
\(\therefore y=−0.0136x^2 + 0.408x\dots(3)\)
Gantikan \(x=15\) ke dalam \((3)\),
kita memperoleh \(y=3.06\)
|
| |
| Memurnikan model matematik |
- Model ini, kita andaikan kedalaman sungai adalah paling dalam di bahagian tengah. Hal ini mungkin tidak benar bagi sesetengah sungai lain. Model baharu diperlukan untuk andaian baharu.
- Kejituan jawapan akan bertambah jika lebih banyak data diambil.
|
| |
| Melaporkan dapatan |
| Laporan penuh dibuat berdasarkan struktur rangka kerja pemodelan di atas. |
| |
