| |
|
6.1
|
Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut \(\theta, 0^\circ \leq θ \leq 360^\circ\)
|
|
| |
| Apakah itu sudut rujukan sepadan? |
| |
| Sudut rujukan sepadan, \(\alpha\), sentiasa kurang daripada \(90^\circ\). Sudut dalam sukuan II, III dand IV mempunyai sudut rujukan sepadan, \(\alpha\). Sudut dalam sukuanI itu sendiri merupakan sudut rujukan sepadan, \(\alpha=\theta\). |
| |
 |
| |
| Sudut rujukan dalam sukuan II, III dan IV ialah sudut dalam sukuan I yang sepadan dengannya. |
| |
|
|
| |
| Contoh 1 |
| |
| Tentukan sukuan dan sudut rujukan sepadan bagi setiap sudut berikut. |
| a) \(138^\circ \) b) \(239^\circ \) c) \(312^\circ\) |
| |
| Penyelesaian: |
| |
| \(\begin{aligned} \text{a)}\hspace{1mm}&\text{$138^\circ$ terletak dalam sukuan II.}\\ &\text{Sudut rujukan sepadan, } \alpha\\ &= 180^\circ - 138^\circ\\ &= 42^\circ \end{aligned}\) |
| |
| \(\begin{aligned} \text{b)}\hspace{1mm}&\text{$239^\circ$terletak dalam sukuan III.}\\ &\text{Sudut rujukan sepadan, } \alpha\\ &= 239^\circ - 180^\circ\\ &= 59^\circ \end{aligned}\) |
| |
| \(\begin{aligned} \text{c)}\hspace{1mm}&\text{$312^\circ$terletak dalam sukuan IV.}\\ &\text{Sudut rujukan sepadan, } \alpha\\ &= 360^\circ - 312^\circ\\ &= 48^\circ \end{aligned}\) |
| |
|
|
| |
| Hubungan antara fungsi sinus, kosinus dan tangen bagi sudut dalam sukuan II, III dan IV dengan sudut rujukan sepadan |
| |
| Sukuan II |
\(\begin{aligned} &\sin \theta = + \sin \alpha = + \sin (180^\circ - \theta)\\ &\text{kos } \theta = - \text{kos } \alpha= - \text{kos } (180^\circ - \theta)\\ &\tan \theta = - \tan \alpha = - \tan (180^\circ - \theta) \end{aligned}\)  |
| |
| Sukuan III |
\(\begin{aligned} &\sin \theta = - \sin \alpha = -\sin ( \theta-180^\circ)\\ &\text{kos } \theta = - \text{kos } \alpha= - \text{kos } (\theta-180^\circ)\\ &\tan \theta = - \tan \alpha = +\tan (\theta-80^\circ) \end{aligned}\)  |
| |
| Sukuan IV |
\(\begin{aligned} &\sin \theta = - \sin \alpha = -\sin ( 360^\circ-\theta)\\ &\text{kos } \theta = + \text{kos } \alpha= + \text{kos } (360^\circ-\theta)\\ &\tan \theta = - \tan \alpha = -\tan (360^\circ-\theta) \end{aligned}\)  |
| |
| Secara ringkas: |
| |
 |
| |
|
|
| |
| Apakah itu bulatan unit? |
| |
| Rajah di bawah menunjukkan satu bulatan unit. Bulatan unit ialah bulatan yang berjejari 1 unit dan berpusat di asalan. Paksi-\(x\) dan paksi- membahagikan bulatan unit kepada 4 sukuan yang sama, iaitu sukuan I, sukuan II, sukuan III dan sukuan IV. |
| |
 |
| |
| Diberi P ialah satu titik yang bergerak di sepanjang lilitan bulatan unit dan q ialah sudut yang dibentuk oleh jejari bulatan unit, OP, dari paksi-x yang positif mengikut arah lawan jam. Didapati bahawa |
(a) titik P berada dalam sukuan I apabila \(0^\circ\lt\theta\lt90^\circ\),
(b) titik P berada dalam sukuan II apabila \(90^\circ\lt\theta\lt180^\circ\),
(c) titik P berada dalam sukuan III apabila \(180^\circ\lt\theta\lt270^\circ\),
(d) titik P berada dalam sukuan IV apabila \(270^\circ\lt\theta\lt360^\circ\). |
| |
|
|
| |
| Hubungan nilai sinus, kosinus dan tangen dengan nilai koordinat-x dan koordinat-y bagi sudut dalam sukuan II, III dan IV dalam bulatan unit. |
| |
 |
| |
|
|
| |
| Contoh 2 |
| |
| Rajah berikut menunjukkan satu bulatan unit dengan sudut \(\theta\). Tentukan nilai \(\sin \theta, \cos \theta\hspace{1mm}\text{and}\hspace{1mm} \tan \theta\). |
| |
 |
| |
| Penyelesaian: |
| |
| \(\begin{aligned} \sin \theta &= 0.8829\\ \text{kos } \theta &= 0.4695\\ \tan \theta&=\frac{0.8829}{ 0.4695}\\ &=1 .8805 \end{aligned}\) |
| |
|
|
| |
| Nilai sinus, kosinus dan tangen pada sudut \(30^\circ, 45^\circ\text{ dan } 60^\circ\) |
| |
| |
\(30^\circ\) |
\(60^\circ\) |
\(45^\circ\) |
| \(\sin \theta\) |
\(\begin{aligned} 1\over 2 \end{aligned}\) |
\(\begin{aligned} \sqrt{3}\over 2 \end{aligned}\) |
\(\begin{aligned} 1\over \sqrt{2} \end{aligned}\) |
| \(\text{kos } \theta\) |
\(\begin{aligned} \sqrt{3}\over 2 \end{aligned}\) |
\(\begin{aligned} 1\over 2 \end{aligned}\) |
\(\begin{aligned} 1\over \sqrt{2} \end{aligned}\) |
| \(\tan \theta\) |
\(\begin{aligned} 1\over \sqrt{3} \end{aligned}\) |
\(\begin{aligned} \sqrt{3} \end{aligned}\) |
\(\begin{aligned} 1 \end{aligned}\) |
|
| |
|
|
| |
| Contoh 3 |
| |
| Tanpa menggunakan kalkulator saintifik, tentukan nilai bagi setiap berikut berdasarkan sudut rujukan sepadan. |
| a) \(\text{kos } 150^\circ\) b) \(\tan 225^\circ\) (c) \(\sin300^\circ\) |
| |
| Penyelesaian: |
| |
| \(\begin{aligned} \text{a) }\text{kos } 150^\circ&=-\text{kos }(180^\circ-150^\circ)\\ &=-\text{kos }30^\circ\\ &=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}\) |
| |
| \(\begin{aligned} \text{b) }\tan 225^\circ&=+\tan(225^\circ-180^\circ)\\ &=+\tan45^\circ\\ &=1 \end{aligned}\) |
| |
| \(\begin{aligned} \text{c) }\sin 300^\circ&=-\sin(260^\circ-300^\circ)\\ &=-\sin60^\circ\\ &=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}\) |
| |
|
|
| |
| Contoh 4 |
| |
| a) Diberi bahawa \(\sin \theta=0.6157 \text{ and }0^\circ\leq\theta\leq360^\circ\), hitung sudut \(\theta\). |
| b) Diberi bahawa \(\text{kos } \theta=-0.4226 \text{ and }0^\circ\leq\theta\leq360^\circ\) hitung sudut \(\theta\). |
| c) Diberi bahawa \(\tan \theta=-1.4826 \text{ and }0^\circ\leq\theta\leq60^\circ\) hitung sudut \(\theta\). |
| |
| Penyelesaian: |
| |
| \(\begin{aligned} \text{a) }&\sin \theta =0.6157 \text{(+ sign}\implies \text{sukuan I atau II}) \\ &\text{Sudut rujukan sepadan}\\ &=\sin^{-1}0.6157\\ &=38^\circ.\\ &\therefore\theta=38^\circ \text{ or } 142^\circ \end{aligned}\) |
| |
| \(\begin{aligned} \text{b) }&\text{kos } \theta =-0.4226 \text{(- sign}\implies \text{sukuan II atau III}) \\ &\text{Sudut rujukan sepadan}\\ &=\text{kos }^{-1}-0.4226\\ &=65^\circ.\\ &\therefore\theta=115^\circ \text{ or } 245^\circ \end{aligned}\) |
| |
| \(\begin{aligned} \text{c) }&\tan \theta =-1.4826 \text{(- sign}\implies \text{sukuan II atau IV}) \\ &\text{Sudut rujukan sepadan}\\ &=\tan^{-1}-1.4826\\ &=56^\circ.\\ &\therefore\theta=124^\circ \text{ or } 304^\circ \end{aligned}\) |
| |
|
|
| |
| |
