1. Belajar
  2. Nota Ringkas
  3. Senarai
  4. Menyelesaikan masalah yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen
Kembali

Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak

 
5.1  Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak
 

 
Bagi suatu segi tiga bersudut tegak,
 
a) Hipotenus ialah sisi terpanjang yang bertentangan dengan sudut \(90{^\circ}\) angle.
 
b) Sisi bersebelahan dan sisi bertentangan berubah mengikut kedudukan sudut tirus yang dirujuk.
 
Sudut Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak
 
Bagi suatu sudut tirus yang ditetapkan dalam pelbagai saiz segi tiga bersudut tegak:
 
a) Nisbah panjang sisi bertentangan kepada hipotenus ialah suatu nilai pemalar.
 
b) Nisbah panjang sisi bersebelahan kepada hipotenus ialah suatu nilai pemalar.
 
c) Nisbah panjang sisi bertentangan kepada panjang sisi bersebelahan ialah suatu nilai pemalar.
 
Sinus, Kosinus dan Tangen
 
  • \(\text{Sinus}=\dfrac{\text{Panjang sisi bertentangan}}{\text{Hipotenus}}\)
 
  • \(\text{Kosinus}=\dfrac{\text{Panjang sisi bersebelahan}}{\text{Hipotenus}}\)
 
  • \(\text{Tangen}=\dfrac{\text{Panjang sisi bertentangan}}{\text{Panjang sisi bersebelahan}}\)
 
Kesan Perubahan Saiz Sudut
 
Semakin besar saiz sudut tirus:
 
a) semakin besar nilai sinus dan nilainya menghampiri \(1\).
 
​b) semakin kecil nilai kosinus dan nilainya menghampiri \(0\).
 
c) semakin besar nilai tangen.
 
Contoh
 

Gambar rajah berikut menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak.
 
Hitung:
 

a) panjang \(PR\)

\(\begin{aligned} PR&= \sqrt{15^2 + 8^2} \\\\&=\sqrt{289} \\\\&= 17 \text{ cm}. \end{aligned}\)
 

b) \(\text{sin }\angle PRQ\)

\(\begin{aligned} \text{sin}&=\dfrac{\text{bertentangan}}{\text{hipotenus}} \\\\&=\dfrac{PQ}{PR} \\\\&=\dfrac{15}{17}. \end{aligned}\)
 

c) \(\text{kos }\angle PRQ\)

\(\begin{aligned} \text{kos}&=\dfrac{\text{bersebelahan}}{\text{hipotenus}} \\\\&=\dfrac{QR}{PR} \\\\&=\dfrac{8}{17}. \end{aligned}\)
 

d) \(\text{tan }\angle QPR\)

\(\begin{aligned} \text{tan}&=\dfrac{\text{bertentangan}}{\text{bersebelahan}} \\\\&=\dfrac{QR}{PQ} \\\\&=\dfrac{8}{15}. \end{aligned}\)
 
Hubungan antara sinus, kosinus dan tangen:
 
Contoh
 

Diberi \(\text{sin }\theta=0.6\) dan \(\text{kos }\theta=0.8\).

Berapakah nilai \(\text{tan }\theta\)?
 
\(\begin{aligned} \text{tan } \theta&=\dfrac{\text{sin }\theta}{\text{kos }\theta} \\\\&=\dfrac{0.6}{0.8} \\\\&=\dfrac{3}{4} \\\\&=0.75. \end{aligned}\)
 
Contoh
 

Gambar rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak \(PQR\).
 

Diberi \(PR= 20 \text{ cm}\) dan \(\text{sin } \angle QPR= \dfrac{3}{5}\).
 

a) Tentukan panjang \(QR\).

Perlu difahami bahawa \(\text{sin } \angle QPR= \dfrac{3}{5}\).

Maka,

\(\begin{aligned} \text{sin } \angle QPR &=\dfrac{3}{5} \\\\ \dfrac{QR}{PR}&=\dfrac{3}{5} \\\\ \dfrac{QR}{20}&=\dfrac{3}{5} \\\\ QR&=\dfrac{3}{5}\times20 \\\\ QR&= 12 \text{ cm}. \end{aligned}\)
 

b) Hitung nilai \(\text{kos }\angle QPR\)

Pertama, kita perlu hitung panjang \(PQ\).

\(\begin{aligned} PQ&=\sqrt{PR^2-QR^2} \\\\&= \sqrt{20^2-12^2} \\\\&= \sqrt{256} \\\\&= 16 \text{ cm}. \\\\\end{aligned}\)

Maka,

\(\begin{aligned} \text{kos } \angle QPR&=\dfrac{PQ}{PR} \\\\&=\dfrac{16}{20} \\\\&=\dfrac{4}{5}. \end{aligned}\)
 
Nilai sinus, kosinus dan tangen sudut \(30^\circ\), \(45^\circ\) dan \(60^\circ\) tanpa menggunakan kalkulator:
 
Nisbah/ Sudut \(30^\circ\) \(45^\circ\) \(60^\circ\)
\(\text{sin }\theta\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\text{kos }\theta\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\text{tan }\theta\) \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) \(\sqrt{3}\) \(1\)
 
  Contoh  
     
  Hitung \(2\text{ kos }60^\circ+\text{tan }45^\circ\).  
     
  \(\begin{aligned}&\space2\text{ kos }60^\circ+\text{tan }45^\circ \\\\&=2(\dfrac{1}{2})+1 \\\\&=2. \end{aligned}\)  
 
Unit ukuran bagi sudut:
 
  • Sudut diukur dalam unit darjah ( \(^\circ\) ), minit ( \('\) ) dan saat ( \(''\) ).
 

Perlu difahami bahawa,

\(\begin{aligned}1^\circ&=60' \\\\1'&=60'' \end{aligned}\)
 
  Contoh  
     
  Tukarkan \(58.1^\circ\) kepada unit darjah dan minit.  
     
  \(\begin{aligned} 58.1^\circ&=58^\circ+0.1^\circ \\\\&=58^\circ+(0.1\times60)' \\\\&=57^\circ+6' \\\\&=58^\circ\,6'. \end{aligned}\)  
 
Pandangan yang dinyatakan dalam Nota ini adalah dari pemilik kandungan Eksperimen.

Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak

 
5.1  Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak
 

 
Bagi suatu segi tiga bersudut tegak,
 
a) Hipotenus ialah sisi terpanjang yang bertentangan dengan sudut \(90{^\circ}\) angle.
 
b) Sisi bersebelahan dan sisi bertentangan berubah mengikut kedudukan sudut tirus yang dirujuk.
 
Sudut Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak
 
Bagi suatu sudut tirus yang ditetapkan dalam pelbagai saiz segi tiga bersudut tegak:
 
a) Nisbah panjang sisi bertentangan kepada hipotenus ialah suatu nilai pemalar.
 
b) Nisbah panjang sisi bersebelahan kepada hipotenus ialah suatu nilai pemalar.
 
c) Nisbah panjang sisi bertentangan kepada panjang sisi bersebelahan ialah suatu nilai pemalar.
 
Sinus, Kosinus dan Tangen
 
  • \(\text{Sinus}=\dfrac{\text{Panjang sisi bertentangan}}{\text{Hipotenus}}\)
 
  • \(\text{Kosinus}=\dfrac{\text{Panjang sisi bersebelahan}}{\text{Hipotenus}}\)
 
  • \(\text{Tangen}=\dfrac{\text{Panjang sisi bertentangan}}{\text{Panjang sisi bersebelahan}}\)
 
Kesan Perubahan Saiz Sudut
 
Semakin besar saiz sudut tirus:
 
a) semakin besar nilai sinus dan nilainya menghampiri \(1\).
 
​b) semakin kecil nilai kosinus dan nilainya menghampiri \(0\).
 
c) semakin besar nilai tangen.
 
Contoh
 

Gambar rajah berikut menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak.
 
Hitung:
 

a) panjang \(PR\)

\(\begin{aligned} PR&= \sqrt{15^2 + 8^2} \\\\&=\sqrt{289} \\\\&= 17 \text{ cm}. \end{aligned}\)
 

b) \(\text{sin }\angle PRQ\)

\(\begin{aligned} \text{sin}&=\dfrac{\text{bertentangan}}{\text{hipotenus}} \\\\&=\dfrac{PQ}{PR} \\\\&=\dfrac{15}{17}. \end{aligned}\)
 

c) \(\text{kos }\angle PRQ\)

\(\begin{aligned} \text{kos}&=\dfrac{\text{bersebelahan}}{\text{hipotenus}} \\\\&=\dfrac{QR}{PR} \\\\&=\dfrac{8}{17}. \end{aligned}\)
 

d) \(\text{tan }\angle QPR\)

\(\begin{aligned} \text{tan}&=\dfrac{\text{bertentangan}}{\text{bersebelahan}} \\\\&=\dfrac{QR}{PQ} \\\\&=\dfrac{8}{15}. \end{aligned}\)
 
Hubungan antara sinus, kosinus dan tangen:
 
Contoh
 

Diberi \(\text{sin }\theta=0.6\) dan \(\text{kos }\theta=0.8\).

Berapakah nilai \(\text{tan }\theta\)?
 
\(\begin{aligned} \text{tan } \theta&=\dfrac{\text{sin }\theta}{\text{kos }\theta} \\\\&=\dfrac{0.6}{0.8} \\\\&=\dfrac{3}{4} \\\\&=0.75. \end{aligned}\)
 
Contoh
 

Gambar rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak \(PQR\).
 

Diberi \(PR= 20 \text{ cm}\) dan \(\text{sin } \angle QPR= \dfrac{3}{5}\).
 

a) Tentukan panjang \(QR\).

Perlu difahami bahawa \(\text{sin } \angle QPR= \dfrac{3}{5}\).

Maka,

\(\begin{aligned} \text{sin } \angle QPR &=\dfrac{3}{5} \\\\ \dfrac{QR}{PR}&=\dfrac{3}{5} \\\\ \dfrac{QR}{20}&=\dfrac{3}{5} \\\\ QR&=\dfrac{3}{5}\times20 \\\\ QR&= 12 \text{ cm}. \end{aligned}\)
 

b) Hitung nilai \(\text{kos }\angle QPR\)

Pertama, kita perlu hitung panjang \(PQ\).

\(\begin{aligned} PQ&=\sqrt{PR^2-QR^2} \\\\&= \sqrt{20^2-12^2} \\\\&= \sqrt{256} \\\\&= 16 \text{ cm}. \\\\\end{aligned}\)

Maka,

\(\begin{aligned} \text{kos } \angle QPR&=\dfrac{PQ}{PR} \\\\&=\dfrac{16}{20} \\\\&=\dfrac{4}{5}. \end{aligned}\)
 
Nilai sinus, kosinus dan tangen sudut \(30^\circ\), \(45^\circ\) dan \(60^\circ\) tanpa menggunakan kalkulator:
 
Nisbah/ Sudut \(30^\circ\) \(45^\circ\) \(60^\circ\)
\(\text{sin }\theta\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\text{kos }\theta\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\text{tan }\theta\) \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) \(\sqrt{3}\) \(1\)
 
  Contoh  
     
  Hitung \(2\text{ kos }60^\circ+\text{tan }45^\circ\).  
     
  \(\begin{aligned}&\space2\text{ kos }60^\circ+\text{tan }45^\circ \\\\&=2(\dfrac{1}{2})+1 \\\\&=2. \end{aligned}\)  
 
Unit ukuran bagi sudut:
 
  • Sudut diukur dalam unit darjah ( \(^\circ\) ), minit ( \('\) ) dan saat ( \(''\) ).
 

Perlu difahami bahawa,

\(\begin{aligned}1^\circ&=60' \\\\1'&=60'' \end{aligned}\)
 
  Contoh  
     
  Tukarkan \(58.1^\circ\) kepada unit darjah dan minit.  
     
  \(\begin{aligned} 58.1^\circ&=58^\circ+0.1^\circ \\\\&=58^\circ+(0.1\times60)' \\\\&=57^\circ+6' \\\\&=58^\circ\,6'. \end{aligned}\)  
 
Pandangan yang dinyatakan dalam Nota ini adalah dari pemilik kandungan Eksperimen.
Bab : Nisbah Trigonometri
Topik : Menyelesaikan masalah yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen
Tingkatan 3 Matematik
Nota yang berkaitan

Laporkan nota ini
Battle Kuiz

Cabar rakan anda dalam Kuiz Battle

Ketahui lebih lanjut
Register for pandai account for free now
© 2025 Pandai.org Hakcipta Terpelihara

Kuiz
Video
Nota
Akaun