Menyelesaikan masalah yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen

Kembali

Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak

5.1

Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak

Bagi suatu segi tiga bersudut tegak,

a) Hipotenus ialah sisi terpanjang yang bertentangan dengan sudut \(90{^\circ}\) angle.

b) Sisi bersebelahan dan sisi bertentangan berubah mengikut kedudukan sudut tirus yang dirujuk.

Sudut Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak

Bagi suatu sudut tirus yang ditetapkan dalam pelbagai saiz segi tiga bersudut tegak:

a) Nisbah panjang sisi bertentangan kepada hipotenus ialah suatu nilai pemalar.

b) Nisbah panjang sisi bersebelahan kepada hipotenus ialah suatu nilai pemalar.

c) Nisbah panjang sisi bertentangan kepada panjang sisi bersebelahan ialah suatu nilai pemalar.

Sinus, Kosinus dan Tangen

\(\text{Sinus}=\dfrac{\text{Panjang sisi bertentangan}}{\text{Hipotenus}}\)

\(\text{Kosinus}=\dfrac{\text{Panjang sisi bersebelahan}}{\text{Hipotenus}}\)

\(\text{Tangen}=\dfrac{\text{Panjang sisi bertentangan}}{\text{Panjang sisi bersebelahan}}\)

Kesan Perubahan Saiz Sudut

Semakin besar saiz sudut tirus:

a) semakin besar nilai sinus dan nilainya menghampiri \(1\).

b) semakin kecil nilai kosinus dan nilainya menghampiri \(0\).

c) semakin besar nilai tangen.

Contoh

Gambar rajah berikut menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak.

Hitung:

a) panjang \(PR\)

\(\begin{aligned} PR&= \sqrt{15^2 + 8^2} \\\\&=\sqrt{289} \\\\&= 17 \text{ cm}. \end{aligned}\)

b) \(\text{sin }\angle PRQ\)

\(\begin{aligned} \text{sin}&=\dfrac{\text{bertentangan}}{\text{hipotenus}} \\\\&=\dfrac{PQ}{PR} \\\\&=\dfrac{15}{17}. \end{aligned}\)

c) \(\text{kos }\angle PRQ\)

\(\begin{aligned} \text{kos}&=\dfrac{\text{bersebelahan}}{\text{hipotenus}} \\\\&=\dfrac{QR}{PR} \\\\&=\dfrac{8}{17}. \end{aligned}\)

d) \(\text{tan }\angle QPR\)

\(\begin{aligned} \text{tan}&=\dfrac{\text{bertentangan}}{\text{bersebelahan}} \\\\&=\dfrac{QR}{PQ} \\\\&=\dfrac{8}{15}. \end{aligned}\)

Hubungan antara sinus, kosinus dan tangen:

Contoh

Diberi \(\text{sin }\theta=0.6\) dan \(\text{kos }\theta=0.8\).

Berapakah nilai \(\text{tan }\theta\)?

\(\begin{aligned} \text{tan } \theta&=\dfrac{\text{sin }\theta}{\text{kos }\theta} \\\\&=\dfrac{0.6}{0.8} \\\\&=\dfrac{3}{4} \\\\&=0.75. \end{aligned}\)

Contoh

Gambar rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak \(PQR\).

Diberi \(PR= 20 \text{ cm}\) dan \(\text{sin } \angle QPR= \dfrac{3}{5}\).

a) Tentukan panjang \(QR\).

Perlu difahami bahawa \(\text{sin } \angle QPR= \dfrac{3}{5}\).

Maka,

\(\begin{aligned} \text{sin } \angle QPR &=\dfrac{3}{5} \\\\ \dfrac{QR}{PR}&=\dfrac{3}{5} \\\\ \dfrac{QR}{20}&=\dfrac{3}{5} \\\\ QR&=\dfrac{3}{5}\times20 \\\\ QR&= 12 \text{ cm}. \end{aligned}\)

b) Hitung nilai \(\text{kos }\angle QPR\)

Pertama, kita perlu hitung panjang \(PQ\).

\(\begin{aligned} PQ&=\sqrt{PR^2-QR^2} \\\\&= \sqrt{20^2-12^2} \\\\&= \sqrt{256} \\\\&= 16 \text{ cm}. \\\\\end{aligned}\)

Maka,

\(\begin{aligned} \text{kos } \angle QPR&=\dfrac{PQ}{PR} \\\\&=\dfrac{16}{20} \\\\&=\dfrac{4}{5}. \end{aligned}\)

Nilai sinus, kosinus dan tangen sudut \(30^\circ\), \(45^\circ\) dan \(60^\circ\) tanpa menggunakan kalkulator:

Nisbah/ Sudut	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\text{sin }\theta\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\text{kos }\theta\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\text{tan }\theta\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)	\(\sqrt{3}\)	\(1\)

	Contoh

	Hitung \(2\text{ kos }60^\circ+\text{tan }45^\circ\).

	\(\begin{aligned}&\space2\text{ kos }60^\circ+\text{tan }45^\circ \\\\&=2(\dfrac{1}{2})+1 \\\\&=2. \end{aligned}\)

Unit ukuran bagi sudut:

Sudut diukur dalam unit darjah ( \(^\circ\) ), minit ( \('\) ) dan saat ( \(''\) ).

Perlu difahami bahawa,

\(\begin{aligned}1^\circ&=60' \\\\1'&=60'' \end{aligned}\)

	Contoh

	Tukarkan \(58.1^\circ\) kepada unit darjah dan minit.

	\(\begin{aligned} 58.1^\circ&=58^\circ+0.1^\circ \\\\&=58^\circ+(0.1\times60)' \\\\&=57^\circ+6' \\\\&=58^\circ\,6'. \end{aligned}\)

Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak

5.1

Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak

Bagi suatu segi tiga bersudut tegak,

a) Hipotenus ialah sisi terpanjang yang bertentangan dengan sudut \(90{^\circ}\) angle.

b) Sisi bersebelahan dan sisi bertentangan berubah mengikut kedudukan sudut tirus yang dirujuk.

Sudut Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak

Bagi suatu sudut tirus yang ditetapkan dalam pelbagai saiz segi tiga bersudut tegak:

a) Nisbah panjang sisi bertentangan kepada hipotenus ialah suatu nilai pemalar.

b) Nisbah panjang sisi bersebelahan kepada hipotenus ialah suatu nilai pemalar.

c) Nisbah panjang sisi bertentangan kepada panjang sisi bersebelahan ialah suatu nilai pemalar.

Sinus, Kosinus dan Tangen

\(\text{Sinus}=\dfrac{\text{Panjang sisi bertentangan}}{\text{Hipotenus}}\)

\(\text{Kosinus}=\dfrac{\text{Panjang sisi bersebelahan}}{\text{Hipotenus}}\)

\(\text{Tangen}=\dfrac{\text{Panjang sisi bertentangan}}{\text{Panjang sisi bersebelahan}}\)

Kesan Perubahan Saiz Sudut

Semakin besar saiz sudut tirus:

a) semakin besar nilai sinus dan nilainya menghampiri \(1\).

b) semakin kecil nilai kosinus dan nilainya menghampiri \(0\).

c) semakin besar nilai tangen.

Contoh

Gambar rajah berikut menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak.

Hitung:

a) panjang \(PR\)

\(\begin{aligned} PR&= \sqrt{15^2 + 8^2} \\\\&=\sqrt{289} \\\\&= 17 \text{ cm}. \end{aligned}\)

b) \(\text{sin }\angle PRQ\)

\(\begin{aligned} \text{sin}&=\dfrac{\text{bertentangan}}{\text{hipotenus}} \\\\&=\dfrac{PQ}{PR} \\\\&=\dfrac{15}{17}. \end{aligned}\)

c) \(\text{kos }\angle PRQ\)

\(\begin{aligned} \text{kos}&=\dfrac{\text{bersebelahan}}{\text{hipotenus}} \\\\&=\dfrac{QR}{PR} \\\\&=\dfrac{8}{17}. \end{aligned}\)

d) \(\text{tan }\angle QPR\)

\(\begin{aligned} \text{tan}&=\dfrac{\text{bertentangan}}{\text{bersebelahan}} \\\\&=\dfrac{QR}{PQ} \\\\&=\dfrac{8}{15}. \end{aligned}\)

Hubungan antara sinus, kosinus dan tangen:

Contoh

Diberi \(\text{sin }\theta=0.6\) dan \(\text{kos }\theta=0.8\).

Berapakah nilai \(\text{tan }\theta\)?

\(\begin{aligned} \text{tan } \theta&=\dfrac{\text{sin }\theta}{\text{kos }\theta} \\\\&=\dfrac{0.6}{0.8} \\\\&=\dfrac{3}{4} \\\\&=0.75. \end{aligned}\)

Contoh

Gambar rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak \(PQR\).

Diberi \(PR= 20 \text{ cm}\) dan \(\text{sin } \angle QPR= \dfrac{3}{5}\).

a) Tentukan panjang \(QR\).

Perlu difahami bahawa \(\text{sin } \angle QPR= \dfrac{3}{5}\).

Maka,

\(\begin{aligned} \text{sin } \angle QPR &=\dfrac{3}{5} \\\\ \dfrac{QR}{PR}&=\dfrac{3}{5} \\\\ \dfrac{QR}{20}&=\dfrac{3}{5} \\\\ QR&=\dfrac{3}{5}\times20 \\\\ QR&= 12 \text{ cm}. \end{aligned}\)

b) Hitung nilai \(\text{kos }\angle QPR\)

Pertama, kita perlu hitung panjang \(PQ\).

\(\begin{aligned} PQ&=\sqrt{PR^2-QR^2} \\\\&= \sqrt{20^2-12^2} \\\\&= \sqrt{256} \\\\&= 16 \text{ cm}. \\\\\end{aligned}\)

Maka,

\(\begin{aligned} \text{kos } \angle QPR&=\dfrac{PQ}{PR} \\\\&=\dfrac{16}{20} \\\\&=\dfrac{4}{5}. \end{aligned}\)

Nilai sinus, kosinus dan tangen sudut \(30^\circ\), \(45^\circ\) dan \(60^\circ\) tanpa menggunakan kalkulator:

Nisbah/ Sudut	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\text{sin }\theta\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\text{kos }\theta\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\text{tan }\theta\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)	\(\sqrt{3}\)	\(1\)

	Contoh

	Hitung \(2\text{ kos }60^\circ+\text{tan }45^\circ\).

	\(\begin{aligned}&\space2\text{ kos }60^\circ+\text{tan }45^\circ \\\\&=2(\dfrac{1}{2})+1 \\\\&=2. \end{aligned}\)

Unit ukuran bagi sudut:

Sudut diukur dalam unit darjah ( \(^\circ\) ), minit ( \('\) ) dan saat ( \(''\) ).

Perlu difahami bahawa,

\(\begin{aligned}1^\circ&=60' \\\\1'&=60'' \end{aligned}\)

	Contoh

	Tukarkan \(58.1^\circ\) kepada unit darjah dan minit.

	\(\begin{aligned} 58.1^\circ&=58^\circ+0.1^\circ \\\\&=58^\circ+(0.1\times60)' \\\\&=57^\circ+6' \\\\&=58^\circ\,6'. \end{aligned}\)

Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak

Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak

Bab : Nisbah Trigonometri

Topik : Menyelesaikan masalah yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen

Nota yang berkaitan