Apabila fungsi pecutan, \(a\) diberi, iaitu \(a=\dfrac{dv}{dt}\), fungsi halaju, \(v\) boleh ditentukan dengan melakukan pengamiran fungsi pecutan, \(a\) terhadap masa \(t\), iaitu 

\(v=\int a\, dt\)

• Apabila fungsi halaju, \(v\) diberi sebagai suatu fungsi masa \(t\), fungsi sesaran, \(s\) boleh diperoleh dengan melakukan pengamiran, iaitu

\(s=\int v \, dt\)

• Apabila fungsi pecutan, \(a\) diberi sebagai satu fungsi masa \(t\), fungsi sesaran, \(s\) boleh diperoleh dengan melakukan pengamiran sebanyak dua kali secara berturut-turut, iaitu

\(v=\int a\, dt\) dan \(s=\int v\, dt\)

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap \(O\) dengan halaju \(12\) ms\(^{-1}\). Pecutannya, \(a\) ms\(^{-2}\), pada masa \(t\) saat selepas melalui \(O\) diberi oleh \(a=4-2t\).

Tentukan sesaran seketika, dalam m, zarah itu dari \(O\)

Fungsi halaju, \(v\) diberi oleh:

\(\begin{aligned} v&=\int a\, dt \\ &=\int (4-2t)\, dt \\ &=4t-t^2+c. \end{aligned}\)

Apabila \(t=0\) dan \(v=12\), oleh itu:

\(\begin{aligned} 12&=4(0)-0^2+c \\ c&=12. \end{aligned}\)

Jadi, pada masa \(t\), \(v=12+4t-t^2\).

Fungsi sesaran, \(s\) diberi oleh:

\(\begin{aligned} s&=\int v\,dt \\ &=\int (12+4t-t^2)\, dt \\ &=12t+2t^2-\dfrac{1}{3}t^3+c. \end{aligned}\)

Apabila \(t=0\) dan \(s=0\), oleh itu:

\(\begin{aligned} 0&=12(0)+2(0)^2-\dfrac{1}{3}(0)^3+c \\ c&=0. \end{aligned}\)

Jadi pada masa \(t\), \(s=12t+2t^2-\dfrac{1}{3}t^3\)

(a)

Apabila \(t=3\),

\(\begin{aligned} s&=12(3)+2(3)^2-\dfrac{1}{3}(3)^3 \\ &=36+18-9 \\ &=45. \end{aligned}\)

Maka, sesaran seketika zarah itu apabila \(t=3\) ialah \(45\) m.

(b)

Apabila zarah berada dalam keadaan pegun, \(v=0\).

Jadi,

\(\begin{aligned} 12+4t-t^2&=0 \\ t^2-4t-12&=0 \\ (t+2)(t-6)&=0 \end{aligned}\)

Oleh sebab \(t\ge 0\), \(t=6\).

Apabila \(t=6\),

\(\begin{aligned} s&=12(6)+2(6)^2-\dfrac{1}{3}(6)^3 \\ &=72+72-72 \\ &=72. \end{aligned}\)

Maka, sesaran seketika zarah itu apabila berada dalam keadaan pegun ialah \(72\) m.

Apabila fungsi pecutan, \(a\) diberi, iaitu \(a=\dfrac{dv}{dt}\), fungsi halaju, \(v\) boleh ditentukan dengan melakukan pengamiran fungsi pecutan, \(a\) terhadap masa \(t\), iaitu 

\(v=\int a\, dt\)

• Apabila fungsi halaju, \(v\) diberi sebagai suatu fungsi masa \(t\), fungsi sesaran, \(s\) boleh diperoleh dengan melakukan pengamiran, iaitu

\(s=\int v \, dt\)

• Apabila fungsi pecutan, \(a\) diberi sebagai satu fungsi masa \(t\), fungsi sesaran, \(s\) boleh diperoleh dengan melakukan pengamiran sebanyak dua kali secara berturut-turut, iaitu

\(v=\int a\, dt\) dan \(s=\int v\, dt\)

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap \(O\) dengan halaju \(12\) ms\(^{-1}\). Pecutannya, \(a\) ms\(^{-2}\), pada masa \(t\) saat selepas melalui \(O\) diberi oleh \(a=4-2t\).

Tentukan sesaran seketika, dalam m, zarah itu dari \(O\)

Fungsi halaju, \(v\) diberi oleh:

\(\begin{aligned} v&=\int a\, dt \\ &=\int (4-2t)\, dt \\ &=4t-t^2+c. \end{aligned}\)

Apabila \(t=0\) dan \(v=12\), oleh itu:

\(\begin{aligned} 12&=4(0)-0^2+c \\ c&=12. \end{aligned}\)

Jadi, pada masa \(t\), \(v=12+4t-t^2\).

Fungsi sesaran, \(s\) diberi oleh:

\(\begin{aligned} s&=\int v\,dt \\ &=\int (12+4t-t^2)\, dt \\ &=12t+2t^2-\dfrac{1}{3}t^3+c. \end{aligned}\)

Apabila \(t=0\) dan \(s=0\), oleh itu:

\(\begin{aligned} 0&=12(0)+2(0)^2-\dfrac{1}{3}(0)^3+c \\ c&=0. \end{aligned}\)

Jadi pada masa \(t\), \(s=12t+2t^2-\dfrac{1}{3}t^3\)

(a)

Apabila \(t=3\),

\(\begin{aligned} s&=12(3)+2(3)^2-\dfrac{1}{3}(3)^3 \\ &=36+18-9 \\ &=45. \end{aligned}\)

Maka, sesaran seketika zarah itu apabila \(t=3\) ialah \(45\) m.

(b)

Apabila zarah berada dalam keadaan pegun, \(v=0\).

Jadi,

\(\begin{aligned} 12+4t-t^2&=0 \\ t^2-4t-12&=0 \\ (t+2)(t-6)&=0 \end{aligned}\)

Oleh sebab \(t\ge 0\), \(t=6\).

Apabila \(t=6\),

\(\begin{aligned} s&=12(6)+2(6)^2-\dfrac{1}{3}(6)^3 \\ &=72+72-72 \\ &=72. \end{aligned}\)

Maka, sesaran seketika zarah itu apabila berada dalam keadaan pegun ialah \(72\) m.