• Vektor dalam satah Cartes boleh ditulis sebagai
  • \(x\utilde{i}+y\utilde{j}\)

  •  \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\), dengan keadaan \(\utilde{i}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\utilde{j}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

•  \(\utilde{i}\) dan \(\utilde{j}\) ialah vektor dengan magnitud \(1\) unit yang masing-masing selari dengan paksi-\(x\) dan paksi-\(y\).

•  Jika \(A \begin{pmatrix} x_1, y_1 \end{pmatrix}\) ialah suatu titik pada satah Cartes, vektor yang terbentuk dari asalan \(O\) ke titik \(A\) ialah:
  \(\overrightarrow{OA}=x_1\utilde{i}+y_1\utilde{j}\).
  \(\overrightarrow{OA}\) dikenali sebagai vektor kedudukan.

• Magnitud bagi suatu vektor \(\utilde{r}=x\utilde{i}+y\utilde{j}\) adalah:
  \(|\utilde{r}|=\sqrt{x^2+y^2}\)

•  Vektor unit dalam arah \(\utilde{r}\) ialah:
  \(\begin{aligned} \hat{\utilde{r}}&=\dfrac{\utilde{r}}{|\utilde{r}|} \\\\ &=\dfrac{x\utilde{i}+y\utilde{j}}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{aligned}\)

•  Magnitud vektor unit dalam arah suatu vektor ialah \(1\) unit.

• Penambahan:
  \((a\utilde{i}+b\utilde{j})+(c\utilde{i}+d\utilde{j})=(a+c)\utilde{i}+(b+d)\utilde{j}\)

• Penolakan:
  \((a\utilde{i}+b\utilde{j})-(c\utilde{i}+d\utilde{j})=(a-c)\utilde{i}+(b-d)\utilde{j}\)

• Pendaraban dengan skalar:
  \(k(a\utilde{i}+b\utilde{j})=ka\utilde{i}+kb\utilde{j}\)

Rajah menunjukkan satu vektor \(\utilde{b}\) dilukis pada satah Cartes.

Cari magnitud bagi vektor \(\utilde{b}\) tersebut.

Berdasarkan rajah,

\(\utilde{b}=2\utilde{i}+2\utilde{j}\),

Maka,

\(\begin{aligned} |\utilde{b}|&=\sqrt{2^2+2^2} \\\\ &=\sqrt{4+4} \\\\ &=\sqrt{8} \text{ unit}. \end{aligned}\)

Tentukan vektor unit bagi yang berikut:

\(\overrightarrow{AD}=3 \utilde{i}+4 \utilde{j}\).

Vektor unit dalam arah \(\utilde{r}\) ialah:

\(\begin{aligned} \hat{\utilde{r}}&=\dfrac{\utilde{r}}{|\utilde{r}|} \\\\ &=\dfrac{x\utilde{i}+y\utilde{j}}{\sqrt{x^2+y^2}}. \end{aligned}\)

Maka, vektor unit dalam arah \(\overrightarrow{AD}\):

\(\begin{aligned} &=\dfrac{\overrightarrow{AD}}{\left|\overrightarrow{AD}\right|} \\\\&=\dfrac{3\utilde{i}+4\utilde{j}}{\sqrt{3^2+4^2}} \\\\ &=\dfrac{3\utilde{i}+4\utilde{j}}{\sqrt{25}} \\\\ &=\dfrac{3\utilde{i}+4\utilde{j}}{5} \\\\ &=\dfrac{3}{5}\utilde{i} +\dfrac{4}{5}\utilde{j}. \end{aligned}\)

Diberi vektor

\(\textbf{p}=-5 \utilde{i}+2\utilde{j}\),

\(\textbf{q}= \utilde{i}+3\utilde{j}\),

\(\textbf{r}=2 \utilde{i}-7\utilde{j}\).

Cari \(3\textbf{p}-\textbf{q}+2\textbf{r}\).

Diberi

 \(\textbf{p}=-5 \utilde{i}+2\utilde{j}\),

\(\textbf{q}= \utilde{i}+3\utilde{j}\),

\(\textbf{r}=2 \utilde{i}-7\utilde{j}\).

Maka,

\(\begin{aligned} \textbf{p}&=-5 \utilde{i}+2\utilde{j} \\\\ 3\textbf{p}&=3(-5 \utilde{i}+2\utilde{j}) \\\\ &=-15 \utilde{i}+6\utilde{j}. \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \textbf{r}&=2 \utilde{i}-7\utilde{j} \\\\ 2\textbf{r}&=2(2 \utilde{i}-7\utilde{j}) \\\\ &=4\utilde{i}-14\utilde{j}. \end{aligned}\)

Maka,

\(\begin{aligned} &3\textbf{p}-\textbf{q}+2\textbf{r} \\\\ &=&-15 \utilde{i}+6\utilde{j} \\ &(-)&\quad \utilde{i}+3\utilde{j} \\ \hline &&-15\utilde{i}+3\utilde{j} \\ &(+) &4 \utilde{i}-14\utilde{j}\\ \hline &&-11\utilde{i}-11\utilde{j} \end{aligned}\)

Arus sungai mengalir selari dengan tebing sungai dengan halaju \(1.25\) km j\(^{-1}\).

Seorang perenang berenang secara berserenjang kepada tebing sungai itu dengan halaju \(2.5\) km j\(^{-1}\).

Hitung masa yang diambil, dalam jam, jika lebar sungai itu ialah \(200\) m.

Dengan mengandaikan arah aliran air adalah sepanjang paksi-\(x\) positif dan arah perenang adalah sepanjang paksi-\(y\) positif.

 Magnitud arus air \(=1.25\) km j\(^{-1}\)
Magnitud perenang \(=2.5\) km j\(^{-1}\)

Katakan \(v\) km j\(^{-1}\) mewakili halaju paduan perenang.

Maka, \(v=1.25 \utilde{i} + 2.5 \utilde{j}\).

Magnitud halaju paduan perenang ialah:

\(\begin{aligned} |\utilde{v}|&= \sqrt{1.25^2+2.5^2} \\ &=2.795 \text{ km j}^{-1}. \end{aligned}\)

Disebabkan lebar sungai itu ialah \(200 \text{ m}= 0.2 \text{ km}\),

maka,

\(\begin{aligned} \text{Masa yang diambil}&=\dfrac{0.2}{2.795} \\ &=0.07156 \,\text{ jam}. \end{aligned}\)

• Vektor dalam satah Cartes boleh ditulis sebagai
  • \(x\utilde{i}+y\utilde{j}\)

  •  \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\), dengan keadaan \(\utilde{i}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\utilde{j}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

•  \(\utilde{i}\) dan \(\utilde{j}\) ialah vektor dengan magnitud \(1\) unit yang masing-masing selari dengan paksi-\(x\) dan paksi-\(y\).

•  Jika \(A \begin{pmatrix} x_1, y_1 \end{pmatrix}\) ialah suatu titik pada satah Cartes, vektor yang terbentuk dari asalan \(O\) ke titik \(A\) ialah:
  \(\overrightarrow{OA}=x_1\utilde{i}+y_1\utilde{j}\).
  \(\overrightarrow{OA}\) dikenali sebagai vektor kedudukan.

• Magnitud bagi suatu vektor \(\utilde{r}=x\utilde{i}+y\utilde{j}\) adalah:
  \(|\utilde{r}|=\sqrt{x^2+y^2}\)

•  Vektor unit dalam arah \(\utilde{r}\) ialah:
  \(\begin{aligned} \hat{\utilde{r}}&=\dfrac{\utilde{r}}{|\utilde{r}|} \\\\ &=\dfrac{x\utilde{i}+y\utilde{j}}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{aligned}\)

•  Magnitud vektor unit dalam arah suatu vektor ialah \(1\) unit.

• Penambahan:
  \((a\utilde{i}+b\utilde{j})+(c\utilde{i}+d\utilde{j})=(a+c)\utilde{i}+(b+d)\utilde{j}\)

• Penolakan:
  \((a\utilde{i}+b\utilde{j})-(c\utilde{i}+d\utilde{j})=(a-c)\utilde{i}+(b-d)\utilde{j}\)

• Pendaraban dengan skalar:
  \(k(a\utilde{i}+b\utilde{j})=ka\utilde{i}+kb\utilde{j}\)

Rajah menunjukkan satu vektor \(\utilde{b}\) dilukis pada satah Cartes.

Cari magnitud bagi vektor \(\utilde{b}\) tersebut.

Berdasarkan rajah,

\(\utilde{b}=2\utilde{i}+2\utilde{j}\),

Maka,

\(\begin{aligned} |\utilde{b}|&=\sqrt{2^2+2^2} \\\\ &=\sqrt{4+4} \\\\ &=\sqrt{8} \text{ unit}. \end{aligned}\)

Tentukan vektor unit bagi yang berikut:

\(\overrightarrow{AD}=3 \utilde{i}+4 \utilde{j}\).

Vektor unit dalam arah \(\utilde{r}\) ialah:

\(\begin{aligned} \hat{\utilde{r}}&=\dfrac{\utilde{r}}{|\utilde{r}|} \\\\ &=\dfrac{x\utilde{i}+y\utilde{j}}{\sqrt{x^2+y^2}}. \end{aligned}\)

Maka, vektor unit dalam arah \(\overrightarrow{AD}\):

\(\begin{aligned} &=\dfrac{\overrightarrow{AD}}{\left|\overrightarrow{AD}\right|} \\\\&=\dfrac{3\utilde{i}+4\utilde{j}}{\sqrt{3^2+4^2}} \\\\ &=\dfrac{3\utilde{i}+4\utilde{j}}{\sqrt{25}} \\\\ &=\dfrac{3\utilde{i}+4\utilde{j}}{5} \\\\ &=\dfrac{3}{5}\utilde{i} +\dfrac{4}{5}\utilde{j}. \end{aligned}\)

Diberi vektor

\(\textbf{p}=-5 \utilde{i}+2\utilde{j}\),

\(\textbf{q}= \utilde{i}+3\utilde{j}\),

\(\textbf{r}=2 \utilde{i}-7\utilde{j}\).

Cari \(3\textbf{p}-\textbf{q}+2\textbf{r}\).

Diberi

 \(\textbf{p}=-5 \utilde{i}+2\utilde{j}\),

\(\textbf{q}= \utilde{i}+3\utilde{j}\),

\(\textbf{r}=2 \utilde{i}-7\utilde{j}\).

Maka,

\(\begin{aligned} \textbf{p}&=-5 \utilde{i}+2\utilde{j} \\\\ 3\textbf{p}&=3(-5 \utilde{i}+2\utilde{j}) \\\\ &=-15 \utilde{i}+6\utilde{j}. \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \textbf{r}&=2 \utilde{i}-7\utilde{j} \\\\ 2\textbf{r}&=2(2 \utilde{i}-7\utilde{j}) \\\\ &=4\utilde{i}-14\utilde{j}. \end{aligned}\)

Maka,

\(\begin{aligned} &3\textbf{p}-\textbf{q}+2\textbf{r} \\\\ &=&-15 \utilde{i}+6\utilde{j} \\ &(-)&\quad \utilde{i}+3\utilde{j} \\ \hline &&-15\utilde{i}+3\utilde{j} \\ &(+) &4 \utilde{i}-14\utilde{j}\\ \hline &&-11\utilde{i}-11\utilde{j} \end{aligned}\)

Arus sungai mengalir selari dengan tebing sungai dengan halaju \(1.25\) km j\(^{-1}\).

Seorang perenang berenang secara berserenjang kepada tebing sungai itu dengan halaju \(2.5\) km j\(^{-1}\).

Hitung masa yang diambil, dalam jam, jika lebar sungai itu ialah \(200\) m.

Dengan mengandaikan arah aliran air adalah sepanjang paksi-\(x\) positif dan arah perenang adalah sepanjang paksi-\(y\) positif.

 Magnitud arus air \(=1.25\) km j\(^{-1}\)
Magnitud perenang \(=2.5\) km j\(^{-1}\)

Katakan \(v\) km j\(^{-1}\) mewakili halaju paduan perenang.

Maka, \(v=1.25 \utilde{i} + 2.5 \utilde{j}\).

Magnitud halaju paduan perenang ialah:

\(\begin{aligned} |\utilde{v}|&= \sqrt{1.25^2+2.5^2} \\ &=2.795 \text{ km j}^{-1}. \end{aligned}\)

Disebabkan lebar sungai itu ialah \(200 \text{ m}= 0.2 \text{ km}\),

maka,

\(\begin{aligned} \text{Masa yang diambil}&=\dfrac{0.2}{2.795} \\ &=0.07156 \,\text{ jam}. \end{aligned}\)