Janjang Geometri

5.2

Janjang Geometri

Definisi

Janjang Geometri adalah suatu urutan nombor di mana setiap sebutan selepas sebutan pertama diperoleh dengan mendarab sebutan sebelumnya dengan nombor tetap yang bukan sifar yang dipanggil nisbah sepunya, \(r\).

Bentuk Umum

Sebarang sebutan ke-\(n\) dalam janjang geometri diberikan oleh:

\(T_n=ar^{(n-1)}\)

Di mana:
\(a=\) sebutan pertama,
\(r=\) nisbah sepunya,
\(n=\) bilangan sebutan,
\(T_n=\) sebutan ke-\(n\).

Nisbah Sepunya, \(r\)

Formula untuk mencari nisbah sepunya:

\(r=\dfrac{T_n}{T_{n-1}}\)

Contoh:
Untuk urutan \(2\), \(6\), \(18\), \(54\), nisbah sepunya, \(r\):
\(\begin{aligned} r&=\dfrac{6}{2} \\ &=3. \end{aligned}\)

Jumlah Sebutan Pertama Hingga ke-\(n\), \(S_n\)

Jumlah sebutan pertama hingga ke-\(n\), \(S_n\), dalam janjang geometri diberikan oleh:

\(S_n=a\dfrac{1-r^n}{1-r}\) (jika \(r\neq1\))

Untuk \(r=1\), jumlahnya adalah:

\(S_n=an\)

Jumlah Hingga Tak Terhingga, \(S_\infin\)

Jumlah hingga tak terhingga, \(S_\infin\), dalam janjang geometri, di mana \(|r|<1\), diberikan oleh:

\(S_\infin=\dfrac{a}{1-r}\)

Contoh

Mencari Sebutan ke-\(n\)

Diberi \(a=3\), \(r=2\), cari sebutan ke-\(5\).
Penyelesaian:
\(\begin{aligned} T_5&=3\times2^4 \\ &=3\times16 \\ &=48 .\end{aligned}\)

Mencari Jumlah Sebutan Pertama Hingga ke-\(n\)

Diberi \(a=5\), \(r=0.5\), cari jumlah enam sebutan pertama.
Penyelesaian:
\(\begin{aligned} S_6&=5\dfrac{1-0.5^6}{1-0.5} \\ &=5\dfrac{1-0.015625}{0.5} \\ &=5\times1.96875\times2 \\ &=19.6875 .\end{aligned}\)