Janjang Aritmetik

5.1

Janjang Aritmetik

$Imej menunjukkan rajah yang menerangkan dua formula yang berkaitan dengan Janjang Aritmetik. Di sebelah kiri, terdapat bulatan biru dengan teks 'Arithmetic Progression' di dalamnya dan logo Pandai di bahagian bawah. Di sebelah kanan, terdapat dua kotak segi empat tepat yang disambungkan ke bulatan dengan garis merah. Kotak atas mengandungi formula untuk sebutan ke-n bagi suatu Kemajuan Aritmetik: $ a_n = a + (n - 1)d $. Kotak bawah mengandungi formula untuk jumlah n sebutan pertama: $ S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d] $.$

Definisi

Janjang Aritmetik (JA) ialah suatu jujukan nombor dengan keadaan setiap sebutan selepas sebutan pertama diperoleh dengan menambah sebutan sebelumnya dengan suatu pemalar, iaitu beza sepunya, $d$.

Bentuk Umum

Sebarang sebutan ke-$n$ dalam janjang aritmetik diberikan oleh:

$T_n=a+(n-1)d$

Di mana:
$a=$ sebutan pertama,
$d=$ beza sepunya,
$n=$ nombor sebutan,
$T_n=$ sebutan ke-$n$.

Beza Sepunya, $d$

Formula untuk mencari beza sepunya:

$d=T_n-T_{n-1}$

Contoh:
Untuk urutan $3$, $7$, $11$, $15$, beza sepunya, $d$:
$d=7-3=4$.

Jumlah Sebutan Pertama Hingga ke-$n$, $S_n$

Jumlah sebutan pertama hingga ke-$n$, $S_n$, diberikan oleh:

$S_n=\dfrac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

Atau, ia boleh ditulis sebagai:

$S_n=\dfrac{n}{2}(a+T_n)$

Contoh

Mencari Sebutan ke-$n$

Diberi $a=5$, $d=3$, cari sebutan ke-$10$.
Penyelesaian:
$\begin{aligned} T_{10}&=5+(10-1)\times 3 \\ &=5+27 \\ &=32. \end{aligned}$

Mencari Jumlah Sebutan Pertama Hingga ke-$n$

Diberi $a=2$, $d=4$, cari jumlah lapan sebutan pertama.
Penyelesaian:
$\begin{aligned} S_8&=\dfrac{8}{2}[2\times2+(8-1)\times4] \\ &=4[4+28] \\ &=4\times32 \\ &=128. \end{aligned}$