Menyelesaikan masalah yang melibatkan pembesaran

Pembesaran

5.2

Pembesaran

Apakah maksud keserupaan objek geometri?

Dua objek adalah serupa jika mereka mempunyai bentuk yang sama, atau satu daripadanya mempunyai bentuk yang sama dengan imej cermin yang lagi satu.

Misalnya, semua bulatan adalah serupa, semua empat segi sama adalah serupa dan semua segi tiga sama sisi adalah serupa.

Nota: Jika semua sisi sepadan bagi sepasang segi tiga berkadaran, maka semua sudut sepadan adalah sama saiz dan sebaliknya.

Nota: Jika dua sudut segi tiga mempunyai ukuran sama dengan ukuran dua sudut segi tiga yang lain, maka kedua-dua segi tiga tersebut adalah serupa.

Contoh 2

Tentukan sama ada pasangan objek geometri yang berikut adalah serupa.

Penyelesaian:

\[\begin{aligned} \angle C&=180^{\circ}-47^{\circ}-79^{\circ}\\ &=54^{\circ}\\ &=\angle G\\ \angle B&=\angle F=79^{\circ}\\ \angle A&=\angle E=47^{\circ}. \end{aligned}\]

Maka, Segi tiga $ABC $ dan segi tiga $EFG$ adalah serupa.

Definisi pembesaran

Pembesaran ialah suatu transformasi dengan semua titik objek bergerak dari satu titik tetap dengan satu nisbah malar. Titik tetap itu dikenali sebagai pusat pembesaran dan nisbah malar itu dikenali sebagai faktor skala.

Faktor skala $k$, bagi suatu pembesaran dapat ditentukan seperti berikut.

\[\begin{aligned} k&=\frac{\text{J.T. imej dari $P$}}{\text{J.T. imej dari $P$}}\\ \\&\text{di mana}\\ &\text{J.T. ialah jarak titik.}\end{aligned}\] Atau \[\begin{aligned} k=\frac{\text{panjang sisi imej}}{\text{panjang sisi objek}} \end{aligned}\]

Contoh 3

Rajah di bawah menunjukkan tiga objek dan imejnya di bawah transformasi pembesaran. Perihalkan pembesaran dengan menentukan faktor skala dan pusat pembesaran untuk yang berikut:

(a) objek $ABC $
(b) objek $RSTU$
(c) objek $LMN$

Penyelesaian:

a)\[\begin{aligned} &\text{Faktor skala}\\&=\frac{A^\prime B^\prime}{AB}\\ &=\frac{6}{4}\\ &=\frac{3}{2}. \end{aligned}\]

$A'B'C'$ ialah imej bagi $ABC$ di bawah suatu pembesaran pada pusat $(-2,-1)$ dengan faktor skala $\dfrac{3}{2}$.

b)\[\begin{aligned} &\text{Faktor skala}\\&=\frac{U^\prime R^\prime}{UR}\\ &=\frac{1}{3}. \end{aligned}\]

$R'S'T'U'$ ialah imej bagi $RSTU$ di bawah suatu pembesaran pada pusat $(13,10)$ dengan faktor skala $\dfrac{1}{3}$.

c)
\[\begin{aligned} &\text{Faktor skala}\\&=\frac{\text{jarak $L^\prime$ dari }P}{\text{jarak $L$ dari }P}\\ &=-\frac{6}{3}\\ &=-2.\end{aligned}\]

Nota: $P$ ialah pusat pembesaran.

$L'M'N'$ialah imej bagi $LMN$ di bawah suatu pembesaran pada pusat $(2,-5)$ dengan faktor skala $-2$.

Rumus luas imej bagi suatu pembesaran

$\text{Luas imej} \\= k^2\times\text{Luas objek}$

dengan keadaan $k$ ialah faktor skala.

Contoh 4

Diberi luas objek dan imej masing-masing ialah $\text{5 cm}^2$ dan $\text{45 cm}^2$.

Hitung faktor skala, $k$.

Penyelesaian:

\[\begin{aligned} k&=\sqrt{\frac{\text{Luas imej}}{\text{Luas objek}}}\\ &=\sqrt{\frac{45}{5}}\\ &=\sqrt{9}\\ &=3. \end{aligned}\]

Pembesaran

5.2

Pembesaran

Apakah maksud keserupaan objek geometri?

Dua objek adalah serupa jika mereka mempunyai bentuk yang sama, atau satu daripadanya mempunyai bentuk yang sama dengan imej cermin yang lagi satu.

Misalnya, semua bulatan adalah serupa, semua empat segi sama adalah serupa dan semua segi tiga sama sisi adalah serupa.

Nota: Jika semua sisi sepadan bagi sepasang segi tiga berkadaran, maka semua sudut sepadan adalah sama saiz dan sebaliknya.

Nota: Jika dua sudut segi tiga mempunyai ukuran sama dengan ukuran dua sudut segi tiga yang lain, maka kedua-dua segi tiga tersebut adalah serupa.

Contoh 2

Tentukan sama ada pasangan objek geometri yang berikut adalah serupa.

Penyelesaian:

\[\begin{aligned} \angle C&=180^{\circ}-47^{\circ}-79^{\circ}\\ &=54^{\circ}\\ &=\angle G\\ \angle B&=\angle F=79^{\circ}\\ \angle A&=\angle E=47^{\circ}. \end{aligned}\]

Maka, Segi tiga $ABC $ dan segi tiga $EFG$ adalah serupa.

Definisi pembesaran

Faktor skala $k$, bagi suatu pembesaran dapat ditentukan seperti berikut.

Contoh 3

Rajah di bawah menunjukkan tiga objek dan imejnya di bawah transformasi pembesaran. Perihalkan pembesaran dengan menentukan faktor skala dan pusat pembesaran untuk yang berikut:

(a) objek $ABC $
(b) objek $RSTU$
(c) objek $LMN$

Penyelesaian:

a)\[\begin{aligned} &\text{Faktor skala}\\&=\frac{A^\prime B^\prime}{AB}\\ &=\frac{6}{4}\\ &=\frac{3}{2}. \end{aligned}\]

$A'B'C'$ ialah imej bagi $ABC$ di bawah suatu pembesaran pada pusat $(-2,-1)$ dengan faktor skala $\dfrac{3}{2}$.

b)\[\begin{aligned} &\text{Faktor skala}\\&=\frac{U^\prime R^\prime}{UR}\\ &=\frac{1}{3}. \end{aligned}\]

$R'S'T'U'$ ialah imej bagi $RSTU$ di bawah suatu pembesaran pada pusat $(13,10)$ dengan faktor skala $\dfrac{1}{3}$.

c)
\[\begin{aligned} &\text{Faktor skala}\\&=\frac{\text{jarak $L^\prime$ dari }P}{\text{jarak $L$ dari }P}\\ &=-\frac{6}{3}\\ &=-2.\end{aligned}\]

Nota: $P$ ialah pusat pembesaran.

$L'M'N'$ialah imej bagi $LMN$ di bawah suatu pembesaran pada pusat $(2,-5)$ dengan faktor skala $-2$.

Rumus luas imej bagi suatu pembesaran

$\text{Luas imej} \\= k^2\times\text{Luas objek}$

dengan keadaan $k$ ialah faktor skala.

Contoh 4

Diberi luas objek dan imej masing-masing ialah $\text{5 cm}^2$ dan $\text{45 cm}^2$.

Hitung faktor skala, $k$.

Penyelesaian:

\[\begin{aligned} k&=\sqrt{\frac{\text{Luas imej}}{\text{Luas objek}}}\\ &=\sqrt{\frac{45}{5}}\\ &=\sqrt{9}\\ &=3. \end{aligned}\]

Pembesaran

Pembesaran

Bab : Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi

Topik : Menyelesaikan masalah yang melibatkan pembesaran

Nota yang berkaitan