|
|
| |
 |
| |
| Ciri-ciri Percubaan Bernoulli |
- Dua kesudahan yang mungkin, iaitu 'kejayaan' dan 'kegagalan'.
- Kebarangkalian ‘kejayaan’ sentiasa sama dalam setiap percubaan.
- Jika kebarangkalian 'kejayaan' diberi oleh \(p\), maka kebarangkalian 'kegagalan' diberi oleh \((1-p)\) dengan \(0 \lt p \lt 1\).
- Pemboleh ubah rawak diskret \(X=\{0,1 \}\), dengan keadaan \(0\) mewakili ‘kegagalan’ dan \(1\) mewakili ‘kejayaan’.
|
|
| |
| Pemboleh Ubah Rawak Binomial |
| Pemboleh ubah rawak binomial ialah bilangan kejayaan \(r\) daripada \(n\) percubaan Bernoulli yang serupa bagi suatu eksperimen binomial. Taburan kebarangkalian bagi pemboleh ubah rawak binomial ini dikenali sebagai taburan binomial. |
|
| |
| Kebarangkalian Suatu Peristiwa bagi Taburan Binomial |
| Rumus Fungsi Kebarangkalian Binomial bagi \(X\) |
\(P(X=r)={}^nC_rp^rq^{n-r}\), \(r=1,2,3,...,n\)
|
| Contoh Penerangan Rumus \({}^nC_rp^rq^{n-r}\) |
|
| Rumus Hasil Tambah Kebarangkalian bagi Semua Pemboleh Ubah Rawak \(X\) |
\(\sum_{i=1}^n P(X=r_i)=1\)
|
|
| |
| Rumus Nilai Jangkaan atau Min, \(\mu\) |
\(\mu=\dfrac{\sum_{r=0}^n rP(X=r)}{\sum_{r=0}^n P(X=r)}\)
atau
Min, \(\mu=np\) |
|
| |
| Varians dan Sisihan Piawai |
| Rumus Varians, \(\sigma^2\) |
\(\sigma^2=npq\)
|
| Rumus Sisihan Piawai, \(\sigma\) |
\(\sigma=\sqrt{npq}\)
|
|
| |
| Contoh \(1\) |
|
Sebuah rak mengandungi \(6\) naskhah buku rujukan Kimia yang sama dan \(4\) naskhah buku rujukan Fizik yang sama. \(3\) naskhah buku rujukan Fizik diambil secara rawak satu demi satu dari rak itu tanpa dikembalikan.
Nyatakan sama ada taburan kebarangkalian ini merupakan taburan binomial atau bukan. Jelaskan.
|
|
\(P(\text{mengambil satu buku rujukan Fizik pertama)}\\ = \dfrac{4}{10}= \dfrac{2}{5}.\)
\(P(\text{mengambil satu buku rujukan Fizik kedua)}\\ = \dfrac{3}{9}= \dfrac{1}{3}.\)
\(P(\text{mengambil satu buku rujukan Fizik ketiga)}\\ = \dfrac{4}{8}= \dfrac{1}{4}.\)
Kebarangkalian mengambil satu buku rujukan Fizik dalam setiap percubaan berubah dan setiap kesudahan bersandar kepada kesudahan sebelumnya.
Maka, ini bukan taburan binomial.
|
|
| |
| Contoh \(2\) |
|
Kebarangkalian bahawa hujan akan turun pada suatu hari tertentu ialah \(0.45\). Dengan menggunakan rumus, cari kebarangkalian bahawa dalam suatu minggu tertentu, hujan akan turun
| (a) |
tepat \(4\) hari, |
| (b) |
sekurang-kurangnya \(2\) hari. |
|
|
Katakan \(X\) mewakili bilangan hari hujan.
Diberi \(n = 7, p = 0.45\) dan \(q = 0.55\).
(a)
\(\begin{aligned} P(X=4) &= \ ^{7}C_{4}(0.45)^4(0.55)^3\\ &= 0.2388. \end{aligned}\)
(b)
\(\begin{aligned} P(X \geqslant 2) &= P(X=2) + P(X=3)+ P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)\\\\ &= 1-[P(X=0)+P(X=1)]\\\\ &= 1- [\ ^{7}C_{0}(0.45)^0(0.55)^7 + \ ^{7}C_{1}(0.45)^1(0.55)^6]\\\\ &= 1-0.0152-0.0872\\\\ &=0.8976 .\end{aligned}\)
|
|
| |
| Contoh \(3\) |
|
Emma melakukan tinjauan tentang peratus murid di sekolahnya yang menaiki bas sekolah. Didapati bahawa \(45\%\) daripada murid di sekolahnya menaiki bas sekolah. Satu sampel yang terdiri daripada \(4\) orang murid dipilih secara rawak dari sekolah itu.
| (a) |
Bina jadual taburan kebarangkalian binomial bagi bilangan murid yang menaiki bas sekolah. |
| (b) |
Lukis graf bagi taburan ini. |
| (c) |
Daripada jadual atau graf, cari kebarangkalian |
| |
| (i) |
lebih daripada \(3\) orang murid menaiki bas sekolah, |
| (ii) |
kurang daripada \(2\) orang murid menaiki bas. |
|
|
|
Katakan \(X\) mewakili bilangan murid yang menaiki bas sekolah.
Maka, \( X = {0, 1, 2, 3, 4}\).
Diberi \(n=4\), \(p=0.45\) dan \(q=0.55\).
| \(X=r\) |
\(P(X=r)\) |
| \(0\) |
\(^{4}C_{0}(0.45)^0(0.55)^4 = 0.0915\) |
| \(1\) |
\(^{4}C_{1}(0.45)^1(0.55)^3 = 0.2995\) |
| \(2\) |
\(^{4}C_{2}(0.45)^2(0.55)^2 = 0.3675\) |
| \(3\) |
\(^{4}C_{3}(0.45)^3(0.55)^1 = 0.2005\) |
| \(4\) |
\(^{4}C_{4}(0.45)^4(0.55)^0 = 0.0410\) |
|
|
|
| (i) |
\(\begin{aligned} P(X\text{ > }3) &= P(X=4)\\ &=0.0410 .\end{aligned}\) |
| |
|
| (ii) |
\(\begin{aligned} P(X\text{ < }2) &= P(X=0) + P(X=1)\\ &=0.0915+0.2995\\ &=0.3910. \end{aligned}\) |
|
|
| |
| Contoh \(4\) |
|
Suatu kajian mendapati bahawa \(95\%\) daripada rakyat Malaysia yang berumur \(20\) tahun dan ke atas mempunyai lesen memandu kereta.
Jika \(160\) orang dipilih secara rawak daripada kumpulan umur itu, jangkakan bilangan rakyat Malaysia berumur \(20\) tahun dan ke atas yang mempunyai lesen memandu kereta.
Seterusnya, cari varians dan sisihan piawai bagi taburan ini.
|
|
Diberi \(p=0.95\), \(q=0.05\) dan \(n=160\).
\(\begin{aligned} \text{Min, } \mu&=np\\ &=160\times 0.95\\ &= 152. \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \text{Varians, } \sigma^2 &=npq\\ &=160\times 0.95 \times 0.05\\ &= 7.60. \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \text{Sisihan piawai, } \sigma&=\sqrt{npq}\\ &=\sqrt{7.60}\\ &= 2.76. \end{aligned}\)
|
|
| |
