Luas Poligon

7.3 Luas Poligon
 
Peta minda terperinci yang mempamerkan luas poligon, dengan takrifan dan penerangan pelbagai jenis poligon.
 
Formula Pengiraan Luas
Bentuk Formula
Segi Tiga \(\text{Luas}=\dfrac{1}{2}\times \text{tapak}\times \text{tinggi}\)
Segi Empat Tepat \(\text{Luas}=\text{panjang}\times \text{lebar}\)
Segi Empat Sama \(\text{Luas}=\text{sisi}\times \text{sisi}=\text{sisi}^2\)
Segi Empat Selari \(\text{Luas}=\text{tapak}\times \text{tinggi}\)
Trapezium \(\text{Luas}=\dfrac{1}{2}\times \text{(jumlah sisi selari)}\times \text{tinggi}\)
Poligon Biasa (contoh: pentagon biasa, heksagon) \(\text{Luas}=\dfrac{1}{2}\times \text{Perimeter}\times \text{Apothem}\)
  • Apothem adalah jarak dari pusat ke titik tengah sisi.
 
Kaedah Geometri Koordinat (Teorem Shoelace)
  • Secara umumnya, apabila koordinat setiap bucu poligon diketahui, kita boleh menentukan luas poligon tersebut dengan:
    \(=\dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} x _1&& x_2 &&x_3 & &... & &x_n& &x_1\\ &\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} }&&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} } &&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} } &&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} } &&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} } \\ y_{1}&& y_2 & &y_3 && ... && y_n && y_1 \end{vmatrix}\)
    \(=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}(x_1y_2+x_2y_3+...+x_ny_1)-(x_2y_1+x_3y_2+...+x_1y_n) \end{vmatrix}\)
 
Contoh
Luas Segi Tiga

Segitiga dengan bucu pada koordinat (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3).

Luas \(\Delta{ABC}\):

\(=\dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} x _1&& x_2 &&x_3 & &x_1\\ &\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} }&&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} } &&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} }\\ y_{1}&& y_2 & &y_3 && y_1 \end{vmatrix}\)

\(=\dfrac{1}{2}|(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1)-(x_2y_1+x_3y_2+x_1y_3)|\)

Luas Segi Empat

Plot segiempat dengan koordinat bucu disertakan.

Luas segi empat \(PQRS\):

\(=\dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} x _1&& x_2 &&x_3 & &x_4 & &x_1\\ &\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} }&&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} } &&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} } &&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} }\\ y_{1}&& y_2 & &y_3 && y_4 && y_1 \end{vmatrix}\)

\(=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_4+x_4y_1)-(x_2y_1+x_3y_2+x_4y_3+x_1y_4) \end{vmatrix}\)

 
Contoh Masalah
Soalan

Cari luas segi tiga yang mempunyai bucu yang diberikan.

\(A(-7,5),\, B(2,-4), \, C(4,3)\)

Penyelesaian

Berdasarkan soalan,

\(A(-7,5),\, B(2,-4), \, C(4,3)\)

Maka, luas bagi segi tiga \(\Delta{ABC}\):

\(=\dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} -7&& 2 &&4 & &-7\\ &\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} }&&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} } &&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} }\\ 5&& -4 & &3 && 5 \end{vmatrix}\)

\(\begin{aligned} &=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}(28+6+20)-(10-16-21)\end{vmatrix} \\\\ &=\dfrac{1}{2}|54+27| \\\\ &=40.5 \text{ unit}^2. \end{aligned}\)

 

Luas Poligon

7.3 Luas Poligon
 
Peta minda terperinci yang mempamerkan luas poligon, dengan takrifan dan penerangan pelbagai jenis poligon.
 
Formula Pengiraan Luas
Bentuk Formula
Segi Tiga \(\text{Luas}=\dfrac{1}{2}\times \text{tapak}\times \text{tinggi}\)
Segi Empat Tepat \(\text{Luas}=\text{panjang}\times \text{lebar}\)
Segi Empat Sama \(\text{Luas}=\text{sisi}\times \text{sisi}=\text{sisi}^2\)
Segi Empat Selari \(\text{Luas}=\text{tapak}\times \text{tinggi}\)
Trapezium \(\text{Luas}=\dfrac{1}{2}\times \text{(jumlah sisi selari)}\times \text{tinggi}\)
Poligon Biasa (contoh: pentagon biasa, heksagon) \(\text{Luas}=\dfrac{1}{2}\times \text{Perimeter}\times \text{Apothem}\)
  • Apothem adalah jarak dari pusat ke titik tengah sisi.
 
Kaedah Geometri Koordinat (Teorem Shoelace)
  • Secara umumnya, apabila koordinat setiap bucu poligon diketahui, kita boleh menentukan luas poligon tersebut dengan:
    \(=\dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} x _1&& x_2 &&x_3 & &... & &x_n& &x_1\\ &\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} }&&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} } &&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} } &&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} } &&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} } \\ y_{1}&& y_2 & &y_3 && ... && y_n && y_1 \end{vmatrix}\)
    \(=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}(x_1y_2+x_2y_3+...+x_ny_1)-(x_2y_1+x_3y_2+...+x_1y_n) \end{vmatrix}\)
 
Contoh
Luas Segi Tiga

Segitiga dengan bucu pada koordinat (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3).

Luas \(\Delta{ABC}\):

\(=\dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} x _1&& x_2 &&x_3 & &x_1\\ &\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} }&&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} } &&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} }\\ y_{1}&& y_2 & &y_3 && y_1 \end{vmatrix}\)

\(=\dfrac{1}{2}|(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1)-(x_2y_1+x_3y_2+x_1y_3)|\)

Luas Segi Empat

Plot segiempat dengan koordinat bucu disertakan.

Luas segi empat \(PQRS\):

\(=\dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} x _1&& x_2 &&x_3 & &x_4 & &x_1\\ &\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} }&&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} } &&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} } &&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} }\\ y_{1}&& y_2 & &y_3 && y_4 && y_1 \end{vmatrix}\)

\(=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_4+x_4y_1)-(x_2y_1+x_3y_2+x_4y_3+x_1y_4) \end{vmatrix}\)

 
Contoh Masalah
Soalan

Cari luas segi tiga yang mempunyai bucu yang diberikan.

\(A(-7,5),\, B(2,-4), \, C(4,3)\)

Penyelesaian

Berdasarkan soalan,

\(A(-7,5),\, B(2,-4), \, C(4,3)\)

Maka, luas bagi segi tiga \(\Delta{ABC}\):

\(=\dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} -7&& 2 &&4 & &-7\\ &\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} }&&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} } &&\hspace{-0.3cm}\large{{\color{red}\searrow} \hspace{-0.4cm}{\nearrow} }\\ 5&& -4 & &3 && 5 \end{vmatrix}\)

\(\begin{aligned} &=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}(28+6+20)-(10-16-21)\end{vmatrix} \\\\ &=\dfrac{1}{2}|54+27| \\\\ &=40.5 \text{ unit}^2. \end{aligned}\)