Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah

Kembali

Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah

3.1

Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah

Definisi

Dua atau lebih persamaan linear yang melibatkan set pemboleh ubah yang sama membentuk sistem persamaan linear.

Perwakilan visual ciri-ciri sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah

Bentuk Umum Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah

Bentuk umum bagi suatu persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah boleh ditulis seperti berikut:

\(ax+by+cz=d\),

dengan keadaan \(a\), \(b\), dan \(c\) bukan sifar.

Contoh Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah

Sistem Persamaan	Huraian
\(\begin{aligned} 2x+4y-z&=10\\ x+y&=10z^2\\ 5y-z-2x&=3 \end{aligned}\)	Bukan sistem persamaan linear, kerana terdapat persamaan yang mempunyai kuasa pemboleh ubah bernilai \(2\).
\(\begin{aligned} p+8q-4r&=2\\ 2(p+6r)+7q&=0\\ 10r+p&=5q \end{aligned}\)	Ya, kerana ketiga-tiga persamaan mempunyai tiga pemboleh ubah, \(p\), \(q\), dan \(r\), dengan kuasa pemboleh ubah bernilai \(1\).

Hubungan Sistem Persamaan Linear dengan Paksi

Sistem tiga persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah mempunyai tiga paksi, iaitu paksi-\(x\), paksi-\(y\) dan paksi-\(z\). Ketiga-tiga persamaan linear tersebut membentuk satah pada setiap paksi.
Setiap persamaan linear dalam dua pemboleh ubah membentuk garis lurus pada setiap paksi.

Bentuk pada Satah Cartes

Secara geometri, persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah membentuk satu satah dalam ruang tiga dimensi.

Satah segi tiga dibentuk oleh tiga titik dan garis penghubung.

Jenis Penyelesaian	Huraian
Satu Penyelesaian	Satah-satah bersilang pada satu titik sahaja.
Penyelesaian Tak Terhingga	Satah-satah bersilang pada satu garis lurus.
Tiada Penyelesaian	Satah-satah tidak bersilang pada mana-mana titik.

Kaedah yang Digunakan untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah

Kaedah Penghapusan
Kaedah Penggantian

Contoh \(1\)

Soalan

Selesaikan sistem persamaan linear yang berikut dengan menggunakan kaedah penghapusan.

\(\begin{aligned} 4x-3y+z&=-10 \\ 2x+y+3z&=0\\ -x+2y-5z&=17 \end{aligned}\)

Penyelesaian

Pilih mana-mana dua persamaan.

\(\begin{aligned} 4x-3y+z&=-10 \quad \cdots\boxed{1} \\ 2x+y+3z&=0 \quad \quad \,\, \cdots \boxed{2} \end{aligned}\)

Darabkan persamaan \(\boxed{2}\) dengan \(2\) supaya pemboleh ubah \(x\) mempunyai pekali yang sama.

\(\boxed{2}\times 2:\quad 4x+2y+6z=0 \quad \cdots \boxed{3}.\)

Hapuskan pemboleh ubah \(x\) dengan menolak \(\boxed{1}\) daripada \(\boxed{3}\).

\(\boxed{3}-\boxed{1}:\quad 5y+5z=10 \quad \cdots \boxed{4}.\)

Pilih lagi dua persamaan.

\(\begin{aligned} 2x+y+3z&=0 \quad\,\,\, \cdots \boxed{5} \\ -x+2y-5z&=17 \quad \cdots\boxed{6} \end{aligned}\)

Darabkan persamaan \(\boxed{6}\) dengan \(2\) supaya pemboleh ubah \(x\) mempunyai pekali yang sama.

\(\begin{aligned} \boxed{6}\times2:-2x+4y-10z&=34 \quad\cdots\boxed{7}\\ \boxed{5}+\boxed{7}: \quad\quad\quad 5y-7z&=34 \quad\cdots\boxed{8} \\ \boxed{4}-\boxed{8}: \quad\quad\quad\quad\,\,\,\ 12z&=-24 \\ z&=-2. \end{aligned}\)

Gantikan \(z=-2\) ke dalam \(\boxed{8}\).

\(\begin{aligned} 5y-7(-2)&=34 \\ 5y+14&=34\\ 5y&=20 \\ y&=4. \end{aligned}\)

Gantikan \(y=4\) dan \(z=-2\) ke dalam \(\boxed{1}\).

\(\begin{aligned} 4x-3(4)+(-2)&=-10\\ 4x-12-2&=-10\\ 4x&=4\\ x&=1. \end{aligned}\)

Maka, \(x=1\), \(y=4\) dan \(z=-2\) ialah penyelesaian bagi sistem persamaan linear ini.

Contoh \(2\)

Soalan

Selesaikan sistem persamaan linear yang berikut dengan menggunakan kaedah penggantian.

\(\begin{aligned} 3x-y-z&=-120 \\ y-2z&=30 \\ x+y+z&=180 \end{aligned}\)

Penyelesaian

Labelkan persamaan berikut.

\(\begin{aligned} 3x-y-z&=-120 \quad \cdots \boxed{1} \\ y-2z&=30 \quad\quad\,\, \cdots \boxed{2} \\ x+y+z&=180 \quad\,\,\,\ \cdots \boxed{3} \end{aligned}\)

Daripada \(\boxed{1}\), \(z=3x-y+120 \quad\cdots\boxed{4}\).

Gantikan \(\boxed{4}\) ke dalam \(\boxed{2}\).

\(\begin{aligned} y-2(3x-y+120)&=30 \\ y-6x+2y-240&=30 \\ -6x+3y&=270 \\ y&=90+2x \quad \cdots \boxed{5}. \end{aligned}\)

Gantikan \(\boxed{4}\) dan \(\boxed{5}\) ke dalam \(\boxed{3}\).

\(\begin{aligned} x+(90+2x)+[3x-(90+2x)+120]&=180 \\ x+2x+3x-2x+90-90+120&=180 \\ 4x&=60 \\ x&=15. \end{aligned}\)

Gantikan \(x=15\) ke dalam \(\boxed{5}\).

\(\begin{aligned} y&=90+2(15) \\ &=120. \end{aligned}\)

Gantikan \(x=15\) dan \(y=120\) ke dalam \(\boxed{3}\).

\(\begin{aligned} 15+120+z&=180 \\ z&=45. \end{aligned}\)

Maka, \(x=15\), \(y=120\), dan \(z=45\) ialah penyelesaian bagi sistem persamaan linear ini.