Persilangan Set

4.1

Persilangan Set

Menentukan dan Menghuraikan Persilangan Set Dengan Menggunakan Pelbagai Perwakilan

Persilangan set wujud apabila terdapat lebih daripada satu set.
Persilangan set \(P\) dan set \(Q\) ditulis dengan menggunakan simbol \(\cap\).

Contoh

Diberi set semesta, \(\xi=\{x:x\text{ ialah integer, }1\leq x\leq 10\}\), set \(P=\{x:x\text{ ialah nombor ganjil}\}\), set \(Q=\{x:x\text{ ialah nombor perdana}\}\), dan
set \(R=\{x:x\text{ ialah gandaan 3}\}\).

Senaraikan semua unsur bagi persilangan set \(P\,\cap\,Q\), \(P\,\cap\,R\), \(Q\,\cap\,R\) dan \(P\,\cap\,Q\, \cap R\).

	Jawapan
\(P\,\cap\,Q\)	\(P=\{1,3,5,7,9\}\) \(Q=\{2,3,5,7\}\) \(P\,\cap\,Q=\{3,5,7\}\)
\(P\,\cap\,R\)	\(P=\{1,3,5,7,9\}\) \(R=\{3,6,9\}\) \(P\,\cap\,R=\{3,9\}\)
\(Q\,\cap\,R\)	\(Q=\{2,3,5,7\}\) \(R=\{3,6,9\}\) \(Q\,\cap\,R=\{3\}\)
\(P\,\cap\,Q\, \cap R\)	\(P=\{1,3,5,7,9\}\) \(Q=\{2,3,5,7\}\) \(R=\{3,6,9\}\) \(P\,\cap\,Q\, \cap R=\{3\}\)

Nyatakan bilangan unsur bagi set \(n(P\,\cap\,Q)\), \(n(P\,\cap\,R)\), \(n(Q\,\cap\,R)\) dan \(n(P\,\cap\,Q\, \cap R)\).

	Jawapan
\(n(P\,\cap\,Q)\)	\(P\,\cap\,Q=\{3,5,7\}\) \(n(P\,\cap\,Q)=3\)
\(n(P\,\cap\,R)\)	\(P\,\cap\,R=\{3,9\}\) \(n(P\,\cap\,R)=2\)
\(n(Q\,\cap\,R)\)	\(Q\,\cap\,R=\{3\}\) \(n(Q\,\cap\,R)=1\)
\(n(P\,\cap\,Q\, \cap R)\)	\(P\,\cap\,Q\, \cap R=\{3\}\) \(n(P\,\cap\,Q\, \cap R)=1\)

Persilangan Antara Dua atau Lebih Set Dengan Gambar Rajah Venn

Tip

\(B\subset A\): Set \(B\) ialah subset kepada set \(A\) apabila semua unsur set \(B\) terdapat dalam set \(A\).
Set kosong ialah set yang tidak mengandungi sebarang unsur dan boleh diwakili oleh \(\phi\) atau \(\{\}\).

Contoh

Diberi set \(A=\{\text{nombor dalam dadu}\}\), set \(B=\{\text{nombor genap dalam dadu}\}\) dan set \(C=\{7,8,9\}\).

Senaraikan semua unsur bagi persilangan set \(A\,\cap\,B\), \(B\,\cap\,C\) dan \(A\,\cap\,C\).

Penyelesaian:

\(A=\{1,2,3,4,5,6\}\)
\(B=\{2,4,6\}\)
\(C=\{7,8,9\}\)

	Jawapan
\(A\,\cap\,B\)	\(A\,\cap\,B=\{2,4,6\}\)
\(B\,\cap\,C\)	\(B\,\cap\,C=\{\}\)
\(A\,\cap\,C\)	\(A\,\cap\,C=\phi\)

Lukis gambar rajah Venn yang mewakili set \(A,B\) dan \(C\) dan lorekkan kawasan yang mewakili persilangan set \(A\,\cap\,B\) dan \(B\,\cap\,C\).

Penyelesaian:

\(A\,\cap\,B\)

\(B\,\cap\,C\)

Semua unsur set \(B\) terdapat dalam set \(A\).
\(A\,\cap\,B=B\).

Set \(B\) dan set \(C\) tidak mempunyai unsur sepunya.

Semua unsur set \(B\) terdapat dalam set \(A\).
\(A\,\cap\,B=B\).

Pelengkap Bagi Persilangan Set

Ia ditulis menggunakan tanda " \('\) ".
\((A\,\cap B)'\) dibaca sebagai " pelengkap bagi persilangan set \(A\) dan \(B\) ".
\((A\,\cap B)'\) bermaksud semua unsur yang bukan dalam persilangan set \(A\) dan \(B\).

Contoh

Diberi set semesta, \(\xi=\{x:x\text{ ialah integer, }1\leq x\leq 8\}\), set \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), set \(B=\{2,4,6\}\) dan set \(C=\{1,2,3,4\}\), senaraikan semua unsur dan nyatakan bilangan unsur bagi set \((A\,\cap\,B)'\), \((A\,\cap\,C)'\) dan \((A\,\cap\,B\,\cap C)'\).

Penyelesaian:

\(\xi=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)

\((A\,\cap\,B)'\)	\(A\,\cap\,B=\{2,4,6\}\) \((A\,\cap\,B)'=\{1,3,5,7,8\}\) \(n(A\,\cap\,B)'=5\)
\((A\,\cap\,C)'\)	\(A\,\cap\,C=\{1,2,3,4\}\) \((A\,\cap\,C)'=\{5,6,7,8\}\) \(n(A\,\cap\,C)'=4\)
\((A\,\cap\,B\,\cap C)'\)	\(A\,\cap\,B\,\cap C=\{2,4\}\) \((A\,\cap\,B\,\cap C)'=\{1,3,5,6,7,8\}\) \(n(A\,\cap\,B\,\cap C)'=6\)

Pelengkap Bagi Persilangan Antara Dua atau Lebih Set dengan Gambar Rajah Venn

Contoh

Diberi aktiviti kokurikulum yang disertai oleh tiga orang murid seperti dalam set \(P\), set \(Q\) dan set \(R\) dengan keadaan set semesta,
\(\xi=\{\text{Pengakap, Matematik, Hoki, Bola Sepak, Sejarah, Badminton, Kadet Polis\}}\).

\(P=\{\text{Pengakap, Matematik, Hoki\}}\)
\(Q=\{\text{Kadet Polis, Sejarah, Badminton\}}\)
\(R=\{\text{Pengakap, Sejarah, Bola Sepak\}}\)

Senaraikan semua unsur bagi set \((P\,\cap R)'\), \((R\,\cap Q)'\) dan \((P \cap R \cap Q)'\) dan lukis gambar rajah Venn yang mewakili set \(P\), set \(Q\) dan set \(R\) dan lorekkan kawasan yang mewakili pelengkap bagi persilangan set \((P\,\cap R)'\), \((R\,\cap Q)'\) dan \((P \cap R \cap Q)'\).

Penyelesaian:

\(\xi=\{\text{Pengakap, Matematik, Hoki, Bola Sepak, Sejarah, Badminton, Kadet Polis\}}\)

\((P\,\cap R)'\)
\((P\,\cap R)=\{\text{Pengakap}\}\) \((P\,\cap R)'=\{\text{Matematik, Hoki, Bola Sepak, Sejarah, Badminton, Kadet Polis\}}\)

\((R\,\cap Q)'\)
\((R\,\cap Q)=\{\text{Sejarah}\}\) \((R\,\cap Q)'=\{\text{Pengakap, Matematik, Hoki, Bola Sepak, Badminton, Kadet Polis\}}\)

\((P \cap R \cap Q)'\)
\((P \cap R \cap Q)=\{\,\}\) \((P \cap R \cap Q)'=\{\text{Pengakap, Matematik, Hoki, Bola Sepak, Sejarah, Badminton, Kadet Polis\}}\)

Masalah Melibatkan Persilangan Set

Contoh

Sebanyak \(140\) orang murid tingkatan lima diberi peluang untuk menyertai kelas intensif untuk mata pelajaran Sejarah dan Bahasa Melayu. Sebanyak \(65\) orang murid memilih kelas Bahasa Melayu, \(70\) orang murid memilih kelas Sejarah manakala \(50\) orang murid memilih kelas Bahasa Melayu dan Sejarah.

Hitung jumlah murid yang dapat menyertai kelas intensif dan jumlah murid yang tidak menyertai sebarang kelas.

Penyelesaian:

\(\xi=\text{jumlah murid}=140\) \(n(B)=\text{murid memilih kelas Bahasa Melayu}=65\) \(n(S)=\text{murid memilih kelas Sejarah}=70\) \(n(B \cap S)=\text{murid yang memilih kelas Bahasa Melayu dan Sejarah}=50\)
Murid yang hanya mengambil mata pelajaran Bahasa Melayu	\(65-50=15\)
Murid yang hanya mengambil mata pelajaran Sejarah	\(70-50=20\)
Murid yang menyertai kelas intensif	\(15+50+20=85\)
Murid yang tidak menyertai kelas intensif	\(140-85=55\)

Jumlah murid yang dapat menyertai kelas intensif = \(85\)

Jumlah murid yang tidak menyertai kelas intensif = \(55\)

Persilangan Set

4.1

Persilangan Set

Menentukan dan Menghuraikan Persilangan Set Dengan Menggunakan Pelbagai Perwakilan

Persilangan set wujud apabila terdapat lebih daripada satu set.
Persilangan set \(P\) dan set \(Q\) ditulis dengan menggunakan simbol \(\cap\).

Contoh

Senaraikan semua unsur bagi persilangan set \(P\,\cap\,Q\), \(P\,\cap\,R\), \(Q\,\cap\,R\) dan \(P\,\cap\,Q\, \cap R\).

	Jawapan
\(P\,\cap\,Q\)	\(P=\{1,3,5,7,9\}\) \(Q=\{2,3,5,7\}\) \(P\,\cap\,Q=\{3,5,7\}\)
\(P\,\cap\,R\)	\(P=\{1,3,5,7,9\}\) \(R=\{3,6,9\}\) \(P\,\cap\,R=\{3,9\}\)
\(Q\,\cap\,R\)	\(Q=\{2,3,5,7\}\) \(R=\{3,6,9\}\) \(Q\,\cap\,R=\{3\}\)
\(P\,\cap\,Q\, \cap R\)	\(P=\{1,3,5,7,9\}\) \(Q=\{2,3,5,7\}\) \(R=\{3,6,9\}\) \(P\,\cap\,Q\, \cap R=\{3\}\)

Nyatakan bilangan unsur bagi set \(n(P\,\cap\,Q)\), \(n(P\,\cap\,R)\), \(n(Q\,\cap\,R)\) dan \(n(P\,\cap\,Q\, \cap R)\).

	Jawapan
\(n(P\,\cap\,Q)\)	\(P\,\cap\,Q=\{3,5,7\}\) \(n(P\,\cap\,Q)=3\)
\(n(P\,\cap\,R)\)	\(P\,\cap\,R=\{3,9\}\) \(n(P\,\cap\,R)=2\)
\(n(Q\,\cap\,R)\)	\(Q\,\cap\,R=\{3\}\) \(n(Q\,\cap\,R)=1\)
\(n(P\,\cap\,Q\, \cap R)\)	\(P\,\cap\,Q\, \cap R=\{3\}\) \(n(P\,\cap\,Q\, \cap R)=1\)

Persilangan Antara Dua atau Lebih Set Dengan Gambar Rajah Venn

Tip

\(B\subset A\): Set \(B\) ialah subset kepada set \(A\) apabila semua unsur set \(B\) terdapat dalam set \(A\).
Set kosong ialah set yang tidak mengandungi sebarang unsur dan boleh diwakili oleh \(\phi\) atau \(\{\}\).

Contoh

Diberi set \(A=\{\text{nombor dalam dadu}\}\), set \(B=\{\text{nombor genap dalam dadu}\}\) dan set \(C=\{7,8,9\}\).

Senaraikan semua unsur bagi persilangan set \(A\,\cap\,B\), \(B\,\cap\,C\) dan \(A\,\cap\,C\).

Penyelesaian:

\(A=\{1,2,3,4,5,6\}\)
\(B=\{2,4,6\}\)
\(C=\{7,8,9\}\)

	Jawapan
\(A\,\cap\,B\)	\(A\,\cap\,B=\{2,4,6\}\)
\(B\,\cap\,C\)	\(B\,\cap\,C=\{\}\)
\(A\,\cap\,C\)	\(A\,\cap\,C=\phi\)

Lukis gambar rajah Venn yang mewakili set \(A,B\) dan \(C\) dan lorekkan kawasan yang mewakili persilangan set \(A\,\cap\,B\) dan \(B\,\cap\,C\).

Penyelesaian:

\(A\,\cap\,B\)

\(B\,\cap\,C\)

Semua unsur set \(B\) terdapat dalam set \(A\).
\(A\,\cap\,B=B\).

Set \(B\) dan set \(C\) tidak mempunyai unsur sepunya.

Semua unsur set \(B\) terdapat dalam set \(A\).
\(A\,\cap\,B=B\).

Pelengkap Bagi Persilangan Set

Ia ditulis menggunakan tanda " \('\) ".
\((A\,\cap B)'\) dibaca sebagai " pelengkap bagi persilangan set \(A\) dan \(B\) ".
\((A\,\cap B)'\) bermaksud semua unsur yang bukan dalam persilangan set \(A\) dan \(B\).

Contoh

Penyelesaian:

\(\xi=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)

\((A\,\cap\,B)'\)	\(A\,\cap\,B=\{2,4,6\}\) \((A\,\cap\,B)'=\{1,3,5,7,8\}\) \(n(A\,\cap\,B)'=5\)
\((A\,\cap\,C)'\)	\(A\,\cap\,C=\{1,2,3,4\}\) \((A\,\cap\,C)'=\{5,6,7,8\}\) \(n(A\,\cap\,C)'=4\)
\((A\,\cap\,B\,\cap C)'\)	\(A\,\cap\,B\,\cap C=\{2,4\}\) \((A\,\cap\,B\,\cap C)'=\{1,3,5,6,7,8\}\) \(n(A\,\cap\,B\,\cap C)'=6\)

Pelengkap Bagi Persilangan Antara Dua atau Lebih Set dengan Gambar Rajah Venn

Contoh

\(P=\{\text{Pengakap, Matematik, Hoki\}}\)
\(Q=\{\text{Kadet Polis, Sejarah, Badminton\}}\)
\(R=\{\text{Pengakap, Sejarah, Bola Sepak\}}\)

Penyelesaian:

\(\xi=\{\text{Pengakap, Matematik, Hoki, Bola Sepak, Sejarah, Badminton, Kadet Polis\}}\)

\((P\,\cap R)'\)
\((P\,\cap R)=\{\text{Pengakap}\}\) \((P\,\cap R)'=\{\text{Matematik, Hoki, Bola Sepak, Sejarah, Badminton, Kadet Polis\}}\)

\((R\,\cap Q)'\)
\((R\,\cap Q)=\{\text{Sejarah}\}\) \((R\,\cap Q)'=\{\text{Pengakap, Matematik, Hoki, Bola Sepak, Badminton, Kadet Polis\}}\)

\((P \cap R \cap Q)'\)
\((P \cap R \cap Q)=\{\,\}\) \((P \cap R \cap Q)'=\{\text{Pengakap, Matematik, Hoki, Bola Sepak, Sejarah, Badminton, Kadet Polis\}}\)

Masalah Melibatkan Persilangan Set

Contoh

Hitung jumlah murid yang dapat menyertai kelas intensif dan jumlah murid yang tidak menyertai sebarang kelas.

Penyelesaian:

\(\xi=\text{jumlah murid}=140\) \(n(B)=\text{murid memilih kelas Bahasa Melayu}=65\) \(n(S)=\text{murid memilih kelas Sejarah}=70\) \(n(B \cap S)=\text{murid yang memilih kelas Bahasa Melayu dan Sejarah}=50\)
Murid yang hanya mengambil mata pelajaran Bahasa Melayu	\(65-50=15\)
Murid yang hanya mengambil mata pelajaran Sejarah	\(70-50=20\)
Murid yang menyertai kelas intensif	\(15+50+20=85\)
Murid yang tidak menyertai kelas intensif	\(140-85=55\)

Jumlah murid yang dapat menyertai kelas intensif = \(85\)

Jumlah murid yang tidak menyertai kelas intensif = \(55\)

Persilangan Set

Persilangan Set

Bab : Operasi Set

Topik : Persilangan Set

Nota yang berkaitan