Pernyataan

3.1

Pernyataan

Definisi

Pernyataan ialah suatu ayat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, iaitu sama ada benar atau palsu, tetapi bukan kedua-duanya.

Maklumat Tambahan

Ayat tanya, ayat seruan dan ayat perintah bukan pernyataan kerana ayat ini tidak dapat menentukan nilai kebenarannya.

Contoh: Tentukan sama ada ayat di bawah ialah pernyataan atau bukan pernyataan. Berikan justifikasi.

Soalan	Jawapan
\(4 + 3 = 8\)	Pernyataan, pernyataan palsu.
Pentagon mempunyai \(5\) sisi.	Pernyataan, pernyataan benar.

Contoh: Tentukan sama ada pernyataan matematik di bawah benar atau palsu. Buktikan sekiranya palsu.

Soalan	Jawapan
\(3\) merupakan nombor perdana.	Pernyataan benar.
\(–11 > –8\)	Pernyataan palsu kerana \(-8\) adalah lebih besar daripada \(-11\).
\(5\) merupakan faktor bagi \(8\).	Pernyataan palsu kerana \(5\) tidak boleh menjadi faktor \(8\). Faktor \(5\) adalah nombor yang boleh dibahagikan dengan \(5\) tanpa baki.

Tips

Bukan semua pernyataan matematik benar.
Nilai kebenaran bagi semua pernyataan matematik boleh ditentukan.

Menafikan Pernyataan

Penjelasan

Gunakan perkataan "tidak" atau "bukan" untuk menafikan sesuatu pernyataan.
Penafian pernyataan \(p\) ditulis sebagai ~\(p\).

Contoh: Bentukkan satu penafian (~\(p\)) bagi setiap pernyataan (\(p\)) berikut dengan menggunakan perkataan "tidak" or "bukan".

Soalan	Jawapan
\(13\) ialah gandaan bagi \(5\).	\(13\) bukan gandaan \(5\).
\(20\) ialah nombor perdana.	\(20\) bukan nombor perdana.

Tentukan Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan Majmuk

Definisi

Pernyataan majmuk ialah gabungan dua atau lebih pernyataan dengan menggunakan perkataan "dan" dan "atau".
Perkataan "dan" dalam pernyataan matematik membawa maksud kedua-dua manakala perkataan "atau" membawa maksud salah satu atau kedua-duanya.

Contoh: Gabungkan pernyataan \(q\) dan \(r\) berikut dengan perkataan "dan" or "atau".

\(q\): Pentagon mempunyai dua penjuru. \(r\): Heptagon mempunyai empat penjuru.
dan	atau
Pentagon mempunyai dua penjuru dan heptagon mempunyai empat penjuru.	Pentagon mempunyai dua penjuru atau heptagon mempunyai empat penjuru.

Jadual Kebenaran

\(p\)	\(q\)	\(p\) dan \(q\)	\(p\) atau \(q\)
Benar	Benar	Benar	Benar
Benar	Palsu	Palsu	Benar
Palsu	Benar	Palsu	Benar
Palsu	Palsu	Palsu	Palsu

Contoh: Menentukan Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan Majmuk

Soalan:

\(x+3\lt x-5\) dan \(99\) ialah nombor ganjil.

Penyelesaian:

	Pernyataan	Kebenaran
\(p\) \(q\) \(p\) dan \(q\)	\(x+3\lt x-5\). \(99\) ialah nombor ganjil. \(x+3\lt x-5\) dan \(99\) ialah nombor ganjil.	Palsu Benar Palsu

Soalan:

Hasil tambah sudut pedalaman segi tiga atau segi empat ialah \(360\degree\).

Penyelesaian:

	Penyataan	Kebenaran
\(p\) \(q\) \(p\) atau \(q\)	Hasil tambah sudut pedalaman segi tiga ialah \(360\degree\). Hasil tambah sudut pedalaman segi empat ialah \(360\degree\). Hasil tambah sudut pedalaman segi tiga atau segi empat ialah \(360\degree\).	Palsu Benar Benar

Membina Pernyataan Dalam Bentuk Implikasi

Implikasi "Jika \(p\), maka \(q\)"

Pernyataan "jika \(p\), maka \(q\)" dikenali sebagai implikasi dengan keadaan

\(p\) dikenali sebagai antejadian.
\(q\) dikenali sebagai akibat.

Contoh:

Tentukan antejadian dan akibat daripada implikasi "jika \(p\), maka \(q\)" berikut.

Jika \(x\) ialah faktor bagi \(16\), maka \(x\) ialah faktor bagi \(64\).

Penyelesaian:

Antejadian: \(x\) ialah faktor bagi \(16\).

Akibat: \(x\) ialah faktor bagi \(64\).

Implikasi "\(p\) jika dan hanya jika \(q\)"

Implikasi "\(p\) jika dan hanya jika \(q\)" terdiri daripada dua implikasi yang berikut:

jika \(p\), maka \(q\)
jika \(q\), maka \(p\)

Contoh:

Tulis dua implikasi "\(p\) jika dan hanya jika \(q\)" yang berikut.

\(\sqrt{r}=15\) jika dan hanya jika \(r=225\).

Penyelesaian:

Implikasi 1: Jika \(\sqrt{r}=15\), maka \(r=225\).

Implikasi 2: Jika \(r=225\), maka \(\sqrt{r}=15\).

Membina dan Membandingkan Nilai Kebenaran Akas, Songsangan dan Kontrapositif Bagi Suatu Implikasi

Pernyataan	Jika \(p\), maka \(q\).
Akas	Jika \(q\), maka \(p\).
Songsangan	Jika \(\sim p\), maka \(\sim q\).
Kontrapositif	Jika \(\sim q\), maka \(\sim p\).

Contoh

Tulis akas, songsangan dan kontrapositif bagi implikasi yang diberikan berikut.

Jika \(x\) ialah nombor positif, maka \(x\) lebih besar daripada \(0\).

Penyelesaian:

Pernyataan	Jika \(x\) ialah nombor positif, maka \(x\) lebih besar daripada \(0\).
Akas	Jika \(x\) lebih besar daripada \(0\), maka \(x\) ialah nombor positif.
Songsangan	Jika \(x\) bukan nombor positif, maka \(x\) tidak lebih besar daripada \(0\).
Kontrapositif	Jika \(x\) tidak lebih besar daripada \(0\), maka \(x\) bukan nombor positif.

Tip

\(\sim p\) merupakan pelengkap bagi \(p\).
Maka, pelengkap bagi \(p^2-q^2>0\) ialah \(p^2-q^2\leq0\).

Menentukan Contoh Penyangkal Untuk Menafikan Kebenaran Pernyataan Tertentu

Bagi pernyataan palsu, sekurang-kurangnya satu contoh penyangkal boleh diberi untuk menafikan kebenaran pernyataam tersebut.

Contoh

Tentukan nilai kebenaran pernyataan matematik di bawah. Sekiranya palsu, berikan satu contoh penyangkal untuk menyokong jawapan anda.

Soalan: Semua poligon mempunyai hasil tambah sudut pedalaman \(180\degree\).

Jawapan: Palsu kerana pentagon mempunyai hasil sudut pedalaman \(540\degree\).

Soalan: \(6\) atau \(36\) ialah gandaan \(9\).

Jawapan: Benar

Pernyataan

3.1

Pernyataan

Definisi

Pernyataan ialah suatu ayat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, iaitu sama ada benar atau palsu, tetapi bukan kedua-duanya.

Maklumat Tambahan

Ayat tanya, ayat seruan dan ayat perintah bukan pernyataan kerana ayat ini tidak dapat menentukan nilai kebenarannya.

Contoh: Tentukan sama ada ayat di bawah ialah pernyataan atau bukan pernyataan. Berikan justifikasi.

Soalan	Jawapan
\(4 + 3 = 8\)	Pernyataan, pernyataan palsu.
Pentagon mempunyai \(5\) sisi.	Pernyataan, pernyataan benar.

Contoh: Tentukan sama ada pernyataan matematik di bawah benar atau palsu. Buktikan sekiranya palsu.

Soalan	Jawapan
\(3\) merupakan nombor perdana.	Pernyataan benar.
\(–11 > –8\)	Pernyataan palsu kerana \(-8\) adalah lebih besar daripada \(-11\).
\(5\) merupakan faktor bagi \(8\).	Pernyataan palsu kerana \(5\) tidak boleh menjadi faktor \(8\). Faktor \(5\) adalah nombor yang boleh dibahagikan dengan \(5\) tanpa baki.

Tips

Bukan semua pernyataan matematik benar.
Nilai kebenaran bagi semua pernyataan matematik boleh ditentukan.

Menafikan Pernyataan

Penjelasan

Gunakan perkataan "tidak" atau "bukan" untuk menafikan sesuatu pernyataan.
Penafian pernyataan \(p\) ditulis sebagai ~\(p\).

Contoh: Bentukkan satu penafian (~\(p\)) bagi setiap pernyataan (\(p\)) berikut dengan menggunakan perkataan "tidak" or "bukan".

Soalan	Jawapan
\(13\) ialah gandaan bagi \(5\).	\(13\) bukan gandaan \(5\).
\(20\) ialah nombor perdana.	\(20\) bukan nombor perdana.

Tentukan Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan Majmuk

Definisi

Pernyataan majmuk ialah gabungan dua atau lebih pernyataan dengan menggunakan perkataan "dan" dan "atau".
Perkataan "dan" dalam pernyataan matematik membawa maksud kedua-dua manakala perkataan "atau" membawa maksud salah satu atau kedua-duanya.

Contoh: Gabungkan pernyataan \(q\) dan \(r\) berikut dengan perkataan "dan" or "atau".

\(q\): Pentagon mempunyai dua penjuru. \(r\): Heptagon mempunyai empat penjuru.
dan	atau
Pentagon mempunyai dua penjuru dan heptagon mempunyai empat penjuru.	Pentagon mempunyai dua penjuru atau heptagon mempunyai empat penjuru.

Jadual Kebenaran

\(p\)	\(q\)	\(p\) dan \(q\)	\(p\) atau \(q\)
Benar	Benar	Benar	Benar
Benar	Palsu	Palsu	Benar
Palsu	Benar	Palsu	Benar
Palsu	Palsu	Palsu	Palsu

Contoh: Menentukan Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan Majmuk

Soalan:

\(x+3\lt x-5\) dan \(99\) ialah nombor ganjil.

Penyelesaian:

	Pernyataan	Kebenaran
\(p\) \(q\) \(p\) dan \(q\)	\(x+3\lt x-5\). \(99\) ialah nombor ganjil. \(x+3\lt x-5\) dan \(99\) ialah nombor ganjil.	Palsu Benar Palsu

Soalan:

Hasil tambah sudut pedalaman segi tiga atau segi empat ialah \(360\degree\).

Penyelesaian:

	Penyataan	Kebenaran
\(p\) \(q\) \(p\) atau \(q\)	Hasil tambah sudut pedalaman segi tiga ialah \(360\degree\). Hasil tambah sudut pedalaman segi empat ialah \(360\degree\). Hasil tambah sudut pedalaman segi tiga atau segi empat ialah \(360\degree\).	Palsu Benar Benar

Membina Pernyataan Dalam Bentuk Implikasi

Implikasi "Jika \(p\), maka \(q\)"

Pernyataan "jika \(p\), maka \(q\)" dikenali sebagai implikasi dengan keadaan

\(p\) dikenali sebagai antejadian.
\(q\) dikenali sebagai akibat.

Contoh:

Tentukan antejadian dan akibat daripada implikasi "jika \(p\), maka \(q\)" berikut.

Jika \(x\) ialah faktor bagi \(16\), maka \(x\) ialah faktor bagi \(64\).

Penyelesaian:

Antejadian: \(x\) ialah faktor bagi \(16\).

Akibat: \(x\) ialah faktor bagi \(64\).

Implikasi "\(p\) jika dan hanya jika \(q\)"

Implikasi "\(p\) jika dan hanya jika \(q\)" terdiri daripada dua implikasi yang berikut:

jika \(p\), maka \(q\)
jika \(q\), maka \(p\)

Contoh:

Tulis dua implikasi "\(p\) jika dan hanya jika \(q\)" yang berikut.

\(\sqrt{r}=15\) jika dan hanya jika \(r=225\).

Penyelesaian:

Implikasi 1: Jika \(\sqrt{r}=15\), maka \(r=225\).

Implikasi 2: Jika \(r=225\), maka \(\sqrt{r}=15\).

Membina dan Membandingkan Nilai Kebenaran Akas, Songsangan dan Kontrapositif Bagi Suatu Implikasi

Pernyataan	Jika \(p\), maka \(q\).
Akas	Jika \(q\), maka \(p\).
Songsangan	Jika \(\sim p\), maka \(\sim q\).
Kontrapositif	Jika \(\sim q\), maka \(\sim p\).

Contoh

Tulis akas, songsangan dan kontrapositif bagi implikasi yang diberikan berikut.

Jika \(x\) ialah nombor positif, maka \(x\) lebih besar daripada \(0\).

Penyelesaian:

Pernyataan	Jika \(x\) ialah nombor positif, maka \(x\) lebih besar daripada \(0\).
Akas	Jika \(x\) lebih besar daripada \(0\), maka \(x\) ialah nombor positif.
Songsangan	Jika \(x\) bukan nombor positif, maka \(x\) tidak lebih besar daripada \(0\).
Kontrapositif	Jika \(x\) tidak lebih besar daripada \(0\), maka \(x\) bukan nombor positif.

Tip

\(\sim p\) merupakan pelengkap bagi \(p\).
Maka, pelengkap bagi \(p^2-q^2>0\) ialah \(p^2-q^2\leq0\).

Menentukan Contoh Penyangkal Untuk Menafikan Kebenaran Pernyataan Tertentu

Bagi pernyataan palsu, sekurang-kurangnya satu contoh penyangkal boleh diberi untuk menafikan kebenaran pernyataam tersebut.

Contoh

Tentukan nilai kebenaran pernyataan matematik di bawah. Sekiranya palsu, berikan satu contoh penyangkal untuk menyokong jawapan anda.

Soalan: Semua poligon mempunyai hasil tambah sudut pedalaman \(180\degree\).

Jawapan: Palsu kerana pentagon mempunyai hasil sudut pedalaman \(540\degree\).

Soalan: \(6\) atau \(36\) ialah gandaan \(9\).

Jawapan: Benar

Pernyataan

Pernyataan

Bab : Penaakulan Logik

Topik : Pernyataan

Nota yang berkaitan