Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen

6.3

Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen

$Imej menunjukkan gambar rajah dengan tajuk 'Fungsi Trigonometri' dalam kotak biru tua. Di bawah tajuk, terdapat tiga anak panah menunjuk ke tiga kotak biru muda yang berasingan. Setiap kotak mengandungi fungsi trigonometri yang berbeza: 1. $ y = a \sin bx + c $ 2. $ y = a \cos bx + c $ 3. $ y = a \tan bx + c $ Di bahagian atas imej, terdapat logo dengan teks 'Pandai'.$

Graf bagi Fungsi Trigonometri

$y=\sin{x}$ dan $y=\text{kos }x$

Graf $y=\sin{x}$ dan $y=\text{kos }x$ berbentuk sinusoidal dan mempunyai ciri-ciri yang berikut:

Nilai maksimum ialah $1$ manakala nilai minimum ialah $-1$, maka amplitud graf ialah $1$ unit.
Bentuk graf berulang setiap selang $360^\circ$ atau $2\pi$ rad, maka $360^\circ$ atau $2\pi$ rad ialah kala bagi kedua-dua graf itu.

$y=\tan{x}$

Graf $y=\tan{x}$ pula tidak berbentuk sinusoidal. Ciri-ciri graf $y=\tan{x}$ adalah seperti berikut:

Graf ini tidak mempunyai nilai maksimum atau nilai minimum.
Bentuk graf berulang setiap selang $180^\circ$ atau $\pi$ rad, maka kala bagi graf tangen ialah $180^\circ$ atau $\pi$ rad.
Fungsi $y=\tan{x}$ tidak tertakrif pada $x=90^\circ$ dan $x=270^\circ$. Lengkung graf menghampiri garis $x=90^\circ$ dan $x=270^\circ$ tetapi tidak menyentuh garis tersebut. Garis tersebut dinamakan asimptot.

Graf $y=\sin{x}$ untuk $-2\pi \leq x \leq 2\pi$

Rajah

1. Graf yang menggambarkan fungsi sinus, y=sin x, menunjukkan corak gelombang dari -2π hingga 2π dengan nilai berangka ditunjukkan.

Ciri-ciri

Amplitud $=1$.
Nilai maksimum $y=1$.
Nilai minimum $y=-1$.
Kala $=360^\circ$ atau $2\pi$.
Pintasan-$x$: $-2\pi$, $-\pi$, $0$, $\pi$, $2\pi$.
Pintasan-$y$: $0$.

Graf $y=\text{kos }x$ untuk $-2\pi \leq x \leq 2\pi$

Rajah

Graf yang memaparkan bentuk gelombang y=cos x, memaparkan berbilang titik dari -2π hingga 2π pada paksi-x.

Ciri-ciri

Amplitud $=1$.
Nilai maksimum $y=1$.
Nilai minimum $y=-1$.
Kala $=360^\circ$ atau $2\pi$.
Pintasan-$x$: $-\dfrac{3}{2}\pi$, $-\dfrac{1}{2}\pi$, $\dfrac{1}{2}\pi$, $\dfrac{3}{2}\pi$.
Pintasan-$y$: $1$.

Graf $y=\tan{x}$ untuk $-2\pi \leq x \leq 2\pi$

Rajah

Graf yang memaparkan garis dan lengkung y=tan x, menggambarkan kelakuannya dari -2π hingga 2π.

Ciri-ciri

Tiada amplitud.
Tiada nilai maksimum $y$.
Tiada nilai minimum $y$.
Kala: $180^\circ$ atau $\pi$.
Asimptot-$x$: $-\dfrac{3}{2}\pi$, $-\dfrac{1}{2}\pi$, $\dfrac{1}{2}\pi$, $\dfrac{3}{2}\pi$.
Pintasan-$x$: $-2\pi$, $-\pi$, $0$, $\pi$, $2\pi$.
Pintasan-$y$: $0$.

Kesan Perubahan Nilai-nilai $a$, $b$ dan $c$ dalam Fungsi $y=a\sin{bx}+c$

Perubahan nilai-nilai $a$, $b$ dan $c$ dalam fungsi $y=a\sin{bx}+c$ memberi kesan kepada amplitud, kala dan kedudukan graf.
Kesan perubahan nilai $a$, $b$ dan $c$ ke atas graf dapat disimpulkan seperti dalam jadual yang berikut:

Perubahan	Kesan
$a$	Nilai maksimum dan minimum graf (kecuali untuk graf $y=\tan{x}$ yang tiada nilai maksimum atau minimum).
$b$	Bilangan kitaran dalam julat $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ atau $0\leq x \leq 2\pi$: Graf $y=\sin{x}$ dan $y=\text{kos }x$ (kala $=\dfrac{360^\circ}{b}$ atau $\dfrac{2}{b}\pi$). Graf $y=\tan{x}$ (kala $=\dfrac{180^\circ}{b}$ atau $\dfrac{1}{b}\pi$).
$c$	Kedudukan graf merujuk kepada paksi-$x$ berbanding dengan kedudukan graf asas.

Contoh

Soalan

Graf yang menggambarkan fungsi gelombang y=4cos(2x) dengan garis merah dan garis biru, menjangkau dari -π hingga 2π.

Nyatakan fungsi kosinus yang diwakili oleh graf dalam rajah di atas.

Penyelesaian

Perhatikan bahawa amplitud ialah $4$.

Jadi $a=4.$

Dua kitaran dalam julat $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 2\pi$.

Kala ialah $\pi$ iaitu $\dfrac{2\pi}{b} = \pi$, jadi $b=2$.

Maka, graf mewakili $y= 4\text{ kos }2x$.