Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik

2.1

Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik

Definisi Persamaan Kuadratik

Suatu persamaan kuadratik dalam bentuk am boleh ditulis sebagai
$ax^2+bx+c=0$
dengan keadaan $a$, $b$ dan $c$ ialah pemalar dan $a\neq0$.

$Imej tersebut ialah grafik pendidikan bertajuk 'Kaedah-kaedah Penyelesaian Persamaan Kuadratik.' Ia menampilkan dua kaedah: 1. 'Kaedah Penyempurnaan Kuasa Dua': - Tulis semula $ ax^2 + bx + c = 0 $ dalam bentuk $ a(x - h)^2 + k = 0 $. - Selesaikan untuk $ x $. 2. ‘Kaedah Formula’: - Gunakan formula $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $. Grafik termasuk logo Pandai di sudut kanan bawah.$

Punca-punca Persamaan Kuadratik

Penyelesaian atau punca-punca bagi persamaan kuadratik $ax^2+bx+c=0$ ialah koordinat-$x$ bagi titik-titik persilangan antara graf
$y=ax^2+bx+c$ dengan paksi-$x$.

Rumus Menyelesaikan Persamaan Kuadratik

Rumus bagi penyelesaian suatu persamaan kuadratik $ax^2+bx+c=0$ diberi sebagai:

$x =\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Membentuk Persamaan Kuadratik daripada Punca-punca

Rumus Hasil Tambah dan Hasil Darab Punca

Rumus bagi hasil tambah punca diberi:

$\text{Hasil tambah punca}=\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$

Sementara rumus bagi hasil darab punca diberi:

$\text{Hasil darab punca}=\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$

Membentuk Persamaan Kuadratik

Persamaan kuadratik dengan punca-punca $\alpha$ dan $\beta$ boleh ditulis sebagai:

$x^2-(\text{hasil tambah punca})x+(\text{hasil darab punca})=0$

Contoh $1$

Soalan

Selesaikan persamaan $x^2+4x-7=0$ dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua.

Penyelesaian

Berdasarkan persamaan $x^2+4x-7=0$,

$a=1$,
$b=4$,
$c=-7$.

Pindahkan sebutan pemalar, $c$ di sebelah kanan persamaan,

$\begin{aligned} x^2+4x-7&=0 \\ x^2+4x&=7. \end{aligned}$

Tambahkan sebutan $\left( \dfrac{b}{2} \right)^2$ di sebelah kiri dan kanan persamaan,

$\begin{aligned} x^2+4x+\left( \dfrac{4}{2} \right)^2&=7+\left( \dfrac{4}{2} \right)^2 \\ x^2+4x+2^2&=7+2^2\\ (x+2)^2&=11\\ x+2&=\pm \sqrt{11}. \end{aligned}$

$x=-5.317$ atau $x=1.317$.

Maka, penyelesaian bagi persamaan $x^2+4x-7=0$ ialah $-5.317$ dan $1.317$.

Contoh $2$

Soalan

Selesaikan persamaan $2x^2-2x-3=0$ dengan menggunakan rumus.

Penyelesaian

Berdasarkan persamaan $2x^2-2x-3=0$,

$a=2$,
$b=-2$,
$c=-3$.

Gunakan rumus penyelesaian persamaan kuadratik,

$\begin{aligned} x&=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4(2)(-3)}}{2(2)} \\ &=\dfrac{2\pm \sqrt{28}}{4} \end{aligned}$

$\begin{aligned} x&=\dfrac{2-\sqrt{28}}{4} \\ &=-0.823 \end{aligned}$ atau $\begin{aligned} x&=\dfrac{2+\sqrt{28}}{4} \\ &=1.823.\end{aligned}$

Maka, penyelesaian bagi persamaan $2x^2-2x-3=0$ ialah $-0.823$ atau $1.823$.